В разделе векторы — основные определения мы ввели понятие вектора в двумерном пространстве (на плоскости) и в трехмерном пространстве. В этой статье мы отойдем от геометрического толкования вектора и посмотрим на него не как на направленный отрезок, а как на упорядоченный набор чисел с присущими ему свойствами. То есть, мы рассматрим векторы с позиций алгебры, что позволит расширить понятие вектора на случай n-мерного пространства. Итак, мы дадим понятие n-мерного вектора, зададим операции над n-мерными векторами, перечислим свойства этих операций и покажем их применение при решении задач.
Определение.
Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел 
называется n-мерным вектором.
Числа называются координатами вектора.
Векторы обозначаются строчными латинскими буквами, например, a, b, c и т.п., координаты вектора указываются в скобках.
Если записать вектор a как 
, то имеем вектор-строку; если записать 
, то имеем вектор-столбец. Это две формы записи одного и того же объекта — n-мерного вектора.
Обратите внимание: при обозначении n-мерных векторов стрелочка сверху над буквой (которая ставится при обозначении вектора на плоскости и в трехмерном пространстве) отсутствует.
Определение.
Вектор 
, все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором.
Определение.
Вектор 
называется противоположным вектору .
Для n-мерных векторов задаются две операции: сложение векторов и умножение вектора на число.
Определение.
Суммой двух векторов и 
называется вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат, то есть, 
.
Следует отметить, что складывать можно только векторы количество координат которых совпадает. Операция сложения для векторов, имеющих различное число координат, не определена.
Определение.
Произведением действительного или комплексного числа 
и вектора называется вектор, координаты которого равны соответствующим координатам вектора а, умноженным на , то есть, 
.
Введенные таким образом операции над n-мерными векторами при n=2 и n=3 полностью согласуются с операциями сложения и умножения вектора на число на плоскости и в трехмерном пространстве в геометрическом смысле. Под координатами двумерного или трехмерного вектора в этом случае понимаем координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве соответственно.
Для любых векторов 
и произвольных действительных или комплексных чисел 
справедливо:
- свойство коммутативности сложения векторов a+b=b+a;
- свойство ассоциативности векторов (a+b)+c=a+(b+c);
- существует нейтральный вектор по операции сложения, им является нулевой вектор, a+0=a;
- для любого вектора существует противоположный вектор, которые в сумме дают нулевой вектор a+(-a)=0;
- Сочетательное свойство умножения
. - Первое распределительное свойство
. - Второе распределительное свойство
. - существует нейтральное число по операции умножения, им является единица
.
Эти свойства справедливы в силу свойств операций сложения и умножения действительных или комплексных чисел.
Операции вычитания векторов как таковой нет, так как разность векторов a и b есть сумма векторов a и -b.
Перечисленные свойства операций позволяют выполнять преобразования в выражениях содержащих векторы по тем же принципам, что и в числовых выражениях.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример.
Даны векторы 
. Найдите сумму и разность векторов a и b.
Решение.
Суммой двух векторов является вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат:
Разность векторов a и b есть сумма вектора а и вектора b, предварительного умноженного на минус единицу: 
. Сначала выполняется умножение вектора на число:
Осталось выполнить сложение:
Ответ:
Пример.
Даны векторы . Найдите вектор 
.
Решение.
Сначала упростим выражение, используя свойства операций над векторами:
Теперь найдем координаты полученного вектора:
Ответ:
Пример.
Даны векторы 
. Найдите координаты вектора 
, выполнив необходимые операции.
Решение.
При нахождении координат вектора сначала выполним умножение вектора e на число 2, далее просуммируем соответствующие координаты:
Ответ:
Пример.
Даны векторы 
. Выполните указанные действия 
.
Решение.
Вектор 
имеет четыре координаты, а вектор 
— три, поэтому мы не можем их сложить и, следовательно, не можем выполнить действия над векторами .
Ответ:
Мы не можем выполнить указанные действия с заданными векторами.
Множество всех n-мерных векторов с введенными операциями сложения векторов и умножения вектора на число порождают линейное пространство.
Определение.
Линейное пространство, элементами которого являются векторы, называется векторным или арифметическим.
Мы дали понятие n-мерного вектора, рассмотрели операции над n-мерными векторами, их свойства и увидели, что множество всех n-мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на число порождают векторное пространство.
Список литературы.
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры.