Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения

В этой статье мы поговорим о нахождении координат середины отрезка по координатам его концов. Сначала мы дадим необходимые понятия, далее получим формулы для нахождения координат середины отрезка, в заключении рассмотрим решения характерных примеров и задач.

Понятие середины отрезка.

Для того, чтобы ввести понятие середины отрезка, нам потребуются определения отрезка и его длины.

Понятие отрезка дается на уроках математики в пятом классе средней школы следующим образом: если взять две произвольных несовпадающих точки А и В, приложить к ним линейку и провести от А к В (или от В к А) линию, то мы получим отрезок АВ (или отрезок ВА). Точки А и В называются концами отрезка. Следуем иметь в виду, что отрезок АВ и отрезок ВА есть один и тот же отрезок.

Если отрезок АВ бесконечно продолжить в обе стороны от концов, то мы получим прямую АВ (или прямую ВА). Отрезок АВ представляет собой часть прямой АВ, заключенную между точками А и В. Таким образом, отрезок АВ – это объединение точек А, В и множества всех точек прямой АВ, находящихся между точками А и В. Если взять произвольную точку М прямой АВ, находящуюся между точками А и В, то говорят, что точка М лежит на отрезке АВ.

Длиной отрезка АВ называется расстояние между точками А и В при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка АВ будем обозначать как .

То есть, если точка С является серединой отрезка АВ, то она лежит на нем и .

Далее нашей задачей будет нахождение координат середины отрезка АВ, если заданы координаты точек А и В на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Координата середины отрезка на координатной прямой.

Пусть нам задана координатная прямая Ох и две несовпадающих точки А и В на ней, которым соответствуют действительные числа  и . Пусть точка С – середина отрезка АВ. Найдем координату  точки С.

Так как точка С – середина отрезка АВ, то справедливо равенство . В разделе расстояние от точки до точки на координатной прямой мы показали, что расстояние между точками равно модулю разности их координат, следовательно, . Тогда  или . Из равенства  находим координату середины отрезка АВ на координатной прямой:  — она равна полусумме координат концов отрезка. Из второго равенства  получаем , что невозможно, так как мы брали несовпадающие точки А и В.

Итак, формула для нахождения координаты середины отрезка АВ с концами  и  имеет вид .

От этой формулы мы будем отталкиваться далее при определении координат середины отрезка, заданного на плоскости или в пространстве.

Координаты середины отрезка на плоскости.

Введем прямоугольную декартову систему координат Оxyz на плоскости. Пусть нам даны две точки  и  и известно, что точка С – середина отрезка АВ. Найдем координаты  и  точки С.

Рассмотрим сначала случай, когда точки А и В не совпадают и не лежат одновременно на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Пусть  и  — проекции точек А, В и С на координатные прямые Оx и Oy соответственно (при необходимости смотрите статью проекция точки на прямую).

По построению прямые  параллельны, а также параллельны прямые , поэтому, по теореме Фалеса из равенства отрезков АС и СВ следует равенство отрезков  и , а так же отрезков  и . Следовательно, точка  — середина отрезка , а  — середина отрезка . Тогда в силу предыдущего пункта этой статьи  и .

По этим формулам можно вычислять координаты середины отрезка АВ и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей. Оставим эти случаи без комментариев, а приведем графические иллюстрации.

Таким образом, середина отрезка АВ на плоскости с концами в точках  и  имеет координаты .

Координаты середины отрезка в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz и заданы две точки  и . Получим формулы для нахождения координат точки С, которая является серединой отрезка АВ.

Рассмотрим общий случай.

Пусть  и  — проекции точек А, В и С на координатные оси Оx, Оу и Oz соответственно.

По теореме Фалеса , следовательно, точки  есть середины отрезков  соответственно. Тогда  (смотрите первый пункт этой статьи). Так мы получили формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов в пространстве.

Эти формулы можно применять и в случаях, когда точки А и В лежат на одной из координатных осей или на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, а также если точки А и В лежат в одной из координатных плоскостей или в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей.

Координаты середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов.

Формулы для нахождения координат середины отрезка легко получить, обратившись к алгебре векторов.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Oxy и точка С – середина отрезка АВ, причем  и .

По геометрическому определению операций над векторами справедливо равенство  (точка С является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на векторах  и , то есть, точка С – середина диагонали параллелограмма). В статье координаты вектора в прямоугольной системе координат мы выяснили, что координаты радиус-вектора точки равны координатам этой точки, следовательно,  . Тогда, выполнив соответствующие операции над векторами в координатах, имеем . Откуда можно сделать вывод, что точка С имеет координаты .

Абсолютно аналогично могут быть найдены координаты середины отрезка АВ через координаты его концов в пространстве. В этом случае, если С – середина отрезка АВ и , то имеем .

Нахождение координат середины отрезка, примеры, решения.

Во многих задачах приходится использовать формулы для нахождения координат середины отрезка. Рассмотрим решения наиболее характерных примеров.

Начнем с примера, в котором лишь требуется применить формулу.

Часто с нахождением координат середины отрезка связаны задачи, в которых фигурирует термин «медиана».

Существуют различные задачи, в которых известны координаты середины отрезка и одного из его концов, а требуется найти координаты другого конца. Рассмотрим решение одной из них.

Формулы для нахождения координат середины отрезка также используются в задачах, связанных с симметрией. Примерами таких задач являются задачи на нахождения точек, симметричных точкам относительно точек, прямых или плоскостей. Их решение не должно вызвать у Вас проблем, если Вы усвоили материал этой статьи.