При описании смешанного произведения векторов мы будем постоянно ссылаться на разделы статей скалярное произведение векторов и векторное произведение векторов, так как скалярное, векторное и смешанное произведение неразрывно связаны. В этой статье дано определение смешанного произведения, получена формула для его нахождения по координатам векторов, перечислены свойства, показан геометрический смысл и подробно разобраны решения характерных примеров и задач.
Определение смешанного произведения.
Смешанное произведение определяется для трех векторов, заданных в трехмерном пространстве.
Определение.
Смешанным произведением трех векторов 
и 
называется действительное число, равное скалярному произведению векторов 
и , где — векторное произведение векторов 
и 
.
Из определения понятно, почему смешанное произведение часто называют векторно-скалярным произведением.
Смешанное произведение векторов и обычно обозначают 
. В таких обозначениях по определению смешанного произведения 
.
Смешанное произведение в координатной форме.
— координатные векторы.
Векторное произведение в координатах имеет вид
а скалярное произведение векторов в прямоугольной системе координат равно сумме произведений соответствующих координат, поэтому,
Таким образом, смешанное произведение векторов равно определителю матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты умножаемых векторов, то есть,
.
Свойства смешанного произведения.
Из свойств векторного произведения и свойств скалярного произведения следуют следующие свойства смешанного произведения:
-
; -
; -
Очевидно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то смешанное произведение равно нулю.
Смешанное произведение также равно нулю, если хотя бы два умножаемых вектора равны.
Действительно, если 
, то по определению векторного произведения 
, следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как 
. Если же или 
, то угол между векторами и равен 
, следовательно, по определению скалярного произведения векторов 
.
Свойства смешанного произведения обычно применяются при доказательстве тождеств или неравенств.
Рассмотрим несколько характерных задач.
Пример.
Докажите равенство 
, где 
— некоторое действительное число.
Решение.
Преобразуем левую часть равенства, обратившись к третьему свойству смешанного произведения:
Выше мы показали, что 
, следовательно,
По первому свойству смешанного произведения 
, а 
. Таким образом, 
.
Поэтому,
Что и требовалось доказать.
Пример.
Докажите, что модуль смешанного произведения трех векторов не превосходит произведения длин этих векторов.
Решение.
Иными словами, нам требуется доказать неравенство 
.
По определению скалярного и векторного произведения векторов, мы можем записать
Из свойств основных элементарных функций мы знаем, что 
. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Вычисление смешанного произведения, примеры и решения.
Проще всего смешанное произведение находится, когда известны координаты векторов. Для вычисления используется формула .
Пример.
Даны координаты трех векторов в прямоугольной системе координат 
. Найдите смешанное произведение .
Решение.
Мы выяснили, что смешанное произведение векторов может быть вычислено через определитель матрицы третьего порядка, строками которой являются координаты векторов, то есть,
Ответ:
.
Пример.
Найдите векторно-скалярное произведение векторов 
, где — орты прямоугольной декартовой системы координат.
Решение.
Данные векторы имеют следующие координаты (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат)
Осталось воспользоваться формулой для вычисления смешанного произведения через координаты векторов
Ответ:
.
Смешанное произведение векторов также может быть вычислено, если известны длины векторов и углы между ними. Рассмотрим решение характерного примера.
Пример.
В правой прямоугольной декартовой системе координат заданы три взаимно перпендикулярных вектора и , образующих правую тройку, их длины равны соответственно 4, 2 и 3. Найдите их смешанное произведение .
Решение.
Обозначим 
.
Нам известно, что скалярное произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними, поэтому 
.
Сразу подставим значение длины вектора , известное из условия: 
.
У нас остались неизвестные 
и 
. Найдем их.
По условию 
, тогда по определению векторного произведения находим длину вектора 
:
Из определения векторного произведения мы можем заключить, что вектор перпендикулярен вектору и вектору , причем тройка векторов 
будет правой, так как векторы и заданы в правой прямоугольной декартовой системе координат. Следовательно, векторы и будут сонаправленными, то есть, 
.
Подставляем полученные результаты и получаем искомое смешанное произведение: 
.
Ответ:
.
Геометрический смысл смешанного произведения.
Выясним геометрический смысл смешанного произведения векторов и .
Отложим векторы и от одной точки и построим параллелепипед на этих векторах как на сторонах.
Обозначим . В этом случае смешанное произведение можно записать как 
, где 
— числовая проекция вектора на направление вектора .
Абсолютная величина числовой проекции равна высоте параллелепипеда, построенного на векторах и , так как вектор перпендикулярен и вектору и вектору по определению векторного произведения. А в разделе геометрический смысл векторного произведения мы выяснили, что величина 
представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Таким образом, модуль смешанного произведения 
— это произведение площади основания на высоту параллелепипеда, построенного на векторах и .
Следовательно, абсолютная величина смешанного произведения векторов представляет собой объем параллелепипеда: 
. В этом заключается геометрический смысл смешанного произведения векторов.
Объем тетраэдра, построенного на векторах и , равен одной шестой объема соответствующего параллелепипеда, таким образом, 
.
Пример.
Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, заданных в прямоугольной системе координат.
Решение.
Искомый объем параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения заданный векторов. Находим смешанное произведение:
Тогда, 
.
Ответ:
.
Пример.
В прямоугольной декартовой системе координат даны четыре точки 
. Найдите объем тетраэдра АВСD.
Решение.
Объем тетраэдра АВСD мы можем вычислить с использованием смешанного произведения векторов по формуле 
.
Найдем координаты векторов по координатам точек
Вычисляем смешанное произведение 
по координатам векторов:
Таким образом, искомый объем тетраэдра равен 
.
Ответ:
.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.