Нахождение угла между векторами, примеры и решения

Когда мы говорим о векторах как о направленных отрезках, то такие понятия как длина вектора и угол между векторами кажутся естественными и интуитивно понятными. В этой статье мы дадим определение угла между векторами на плоскости и в трехмерном пространстве, приведем графическую иллюстрацию. Основное внимание сосредоточим на методах нахождения косинуса угла (и самого угла) между векторами, подробно разберем решения характерных примеров и задач.

Угол между векторами на плоскости и в пространстве.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве заданы два ненулевых вектора  и . Отложим от произвольной точки O векторы  и . Тогда справедливо следующее определение.

Угол между векторами  и  будем обозначать как .

Понятно, что угол между векторами может принимать значения от 0 до  или, что то же самое, от  до .

 когда векторы  и  сонаправленные,  когда векторы  и  противоположно направленные.

Если хотя бы один из векторов  и  нулевой, то угол  не определен.

Нахождение угла между векторами, примеры и решения.

Косинус угла между векторами  и , а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах  и .

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть . Если векторы  и  ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов  и , и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: . Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

Намного чаще встречаются задачи, где векторы заданы координатами в прямоугольной системе координат на плоскости или в пространстве. В этих случаях для нахождения косинуса угла между векторами можно использовать все ту же формулу , но в координатной форме. Получим ее.

В статье вычисление длины вектора мы выяснили, что длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат, а в разделе скалярное произведение в координатах мы показали, что скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Следовательно, формула для вычисления косинуса угла между векторами  на плоскости имеет вид , а для векторов  в трехмерном пространстве — .

Разберем на примерах.

К предыдущему случаю сводится задача, когда даны координаты трех точек (например А, В и С) в прямоугольной системе координат и требуется найти какой-нибудь угол (например, ).

Действительно, угол  равен углу между векторами  и . Координаты этих векторов вычисляются как разность соответствующих координат точек конца и начала вектора, об этом мы говорили в статье нахождение координат вектора через координаты точек.

Угол между векторами  и  также можно вычислить по теореме косинусов. Если отложить от точки O векторы  и , то по теореме косинусов в треугольнике ОАВ мы можем записать , что эквивалентно равенству , откуда находим косинус угла между векторами . Для применения полученной формулы нам нужны лишь длины векторов  и , которые легко находятся по координатам векторов  и . Однако, этот метод практически не используется, так как косинус угла между векторами проще найти по формуле .