Изучение основных формул тригонометрии продолжаем формулами произведения синусов, косинусов и синуса на косинус. Эти формулы являются в определенном смысле обратными формулам суммы синусов и косинусов, то есть, позволяют от произведения синусов и косинусов углов 
и 
перейти к сумме или разности синусов и косинусов углов 
и 
.
В этой статье мы рассмотрим следующие формулы: произведение синусов, произведение косинусов и произведение синуса на косинус, покажем их вывод, а также приведем примеры их использования.
Список формул
Запишем по порядку формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.
Эти формулы справедливы для любых углов и .
Озвучим формулировки данных формул произведения:
- Произведение синусов углов и равно полуразности косинуса угла и косинуса угла .
- Произведение косинусов углов и равно полусумме косинуса разности углов и и косинуса суммы этих углов.
- Произведение синуса угла и косинуса угла равно полусумме синуса разности углов и и синуса суммы этих углов.
Вывод формул
Для вывода формул произведения синусов и косинусов нам потребуются формулы косинуса суммы и косинуса разности вида 
и 
.
Сложив эти равенства, получаем 
, откуда следует, что 
и 
. Так доказана формула произведения косинусов.
Если же формулу косинуса суммы переписать как 
, после чего к этому равенству прибавить равенство , то легко получается формула произведения синусов вида 
.
Для вывода формулы произведения синуса на косинус достаточно сложить левые и правые части формул синуса суммы 
и синуса разности 
. Имеем 
, откуда следует, что 
.
Так мы вывели формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус.
Примеры использования
Разберем несколько примеров использования формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус. Это сделаем для того, чтобы было понятно, как применяются рассматриваемые формулы для конкретных углов.
Начнем с того, что проверим справедливость, например, формул произведения синусов. Для этого возьмем 
, и убедимся, что для этих углов совпадают значения правой и левой частей равенства . Имеем 
(при необходимости обращайтесь к разделу таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса), и
Так как мы получили одинаковые значения, то формула произведения синусов справедлива для данных углов.
В некоторых случаях формулы произведения позволяют вычислять значения тригонометрических выражений. Рассмотрим пример, подтверждающий наши слова.
Пример.
Вычислите точное значение произведения синуса 75 градусов и косинуса 15 градусов.
Решение.
Точные значения 
и 
нам неизвестны, поэтому мы не можем непосредственно вычислить требуемое значение. Однако ответить на вопрос задачи нам позволяет формула произведения синуса и косинуса. Действительно, сумма углов 75 и 15 градусов равна 90 градусов, а их разность равна 60 градусов, для данных углов мы знаем точные значения всех тригонометрических функций.
Итак,
Ответ:
.
Формулы произведения синусов, косинусов, синуса и косинуса используются для преобразования тригонометрических выражений, но эта тема требует более детального обсуждения.
Список литературы.
- Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
- Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.