Основные тригонометрические тождества, их формулировки и вывод

В этой статье мы всесторонне рассмотрим основные тригонометрические тождества. Основные тригонометрические тождества представляют собой равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, и позволяют находить любую из этих тригонометрических функций через известную другую.

Сразу перечислим основные тригонометрические тождества, которые разберем в этой статье. Запишем их в таблицу, а ниже дадим вывод этих формул и приведем необходимые пояснения.

Связь между синусом и косинусом одного угла

Иногда говорят не об основных тригонометрических тождествах, перечисленных в таблице выше, а об одном единственном основном тригонометрическом тождестве вида . Объяснение этому факту достаточно простое: равенства  получаются из основного тригонометрического тождества после деления обеих его частей на  и  соответственно, а равенства  и  следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подробнее об этом поговорим в следующих пунктах.

То есть, особый интерес представляет именно равенство , которому и дали название основного тригонометрического тождества.

Прежде чем доказать основное тригонометрическое тождество, дадим его формулировку: сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице. Теперь докажем его.

Обратимся к единичной окружности. Пусть начальная точка A(1, 0) после поворота на угол  переходит в точку A₁. В силу определений синуса и косинуса точка A₁ имеет координаты . Более того, точка A₁ лежит на единичной окружности, следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнению единичной окружности, которое имеет вид x²+y²=1. То есть, должно быть справедливо равенство . Этим доказано основное тригонометрическое тождество для любых углов поворота .

Равенство  часто называют теоремой Пифагора в тригонометрии. Поясним этот момент.

Возьмем единичную окружность. Повернем начальную точку A(1, 0) вокруг точки O на угол . Пусть точка A после этого поворота переходит в точку A₁(x, y). Опустим из точки A₁ перпендикуляр A₁H на прямую Ox.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OA₁H. Хорошо видно, что в нем длины катетов A₁H и OH равны соответственно модулю ординаты и абсциссы точки A₁, то есть, |A₁H|=|y| и |OH|=|x|, а длина гипотенузы OA₁ равна радиусу единичной окружности, то есть, |OA₁|=1. Теорема Пифагора позволяет записать равенство |A₁H|²+|OH|²=|OA1|², которое мы можем переписать как |y|²+|x|²=1² или y²+x²=1. Но по определению  и , тогда от равенства y²+x²=1 мы можем перейти к равенству .

Основное тригонометрическое тождество задает связь между синусом и косинусом одного угла. Это позволяет вычислять синус угла, когда известен косинус этого угла, и вычислять косинус угла, когда известен синус угла. Для этого достаточно равенство  разрешить относительно синуса и косинуса соответственно:  и . Знак перед корнем зависит от величины угла . Подробнее об этом мы поговорим в разделе вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса с использованием тригонометрических формул.

Основное тригонометрическое тождество очень часто используется при преобразовании тригонометрических выражений. Оно позволяет сумму квадратов синуса и косинуса одного угла заменять единицей. Не менее часто основное тригонометрическое тождество используется и в обратном порядке: единица заменяется суммой квадратов синуса и косинуса какого-либо угла.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Тождества, связывающие тангенс и котангенс с синусом и косинусом одного угла вида  и  сразу следуют из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Действительно, по определению синус есть ордината y, косинус есть абсцисса x, тангенс есть отношение ординаты к абсциссе, то есть, , а котангенс есть отношение абсциссы к ординате, то есть, .

Благодаря такой очевидности тождеств  и  часто определения тангенса и котангенса дают не через отношение абсциссы и ординаты, а через отношение синуса и косинуса. Так тангенсом угла называют отношение синуса к косинусу этого угла, а котангенсом – отношение косинуса к синусу.

В заключение этого пункта следует отметить, что тождества  и  имеют место для всех таких углов , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл. Так формула  справедлива для любых , отличных от  (иначе в знаменателе будет нуль, а деление на нуль мы не определяли), а формула  — для всех , отличных от , где z — любое целое число.

Связь между тангенсом и котангенсом

Еще более очевидным тригонометрическим тождеством, чем два предыдущих, является тождество, связывающее тангенс и котангенс одного угла вида . Понятно, что оно имеет место для любых углов , отличных от , в противном случае либо тангенс, либо котангенс не определены.

Доказательство формулы  очень просто. По определению  и , откуда . Можно было доказательство провести и немного иначе. Так как  и , то .

Итак, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, есть взаимно обратные числа.

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Наконец, мы пришли к двум последним из основных тригонометрических тождеств . Они связывают тангенс и косинус, а также котангенс и синус одного угла.

Приведем их формулировки: сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла, а сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывод указанных формул можно провести, отталкиваясь от основного тригонометрического тождества вида . Если разделить обе части этого равенства на  (при этом, конечно,  должен быть отличен от нуля), то мы получим формулу . Если же обе части равенства  разделить на  (при этом  должен быть отличен от нуля), то мы придем к тождеству .

Итак, тождество  имеет место для любых , отличных от , а тождество  — при любых , отличных от .