Разложение рациональной дроби на простейшие дроби

Ниже дана ссылка на word-документ, в котором изложена краткая теория и разобраны два примера разложения рациональной дроби. Рассмотрены метод неопределенных коэффициентов и метод частных значений.

Различают четыре основных типа простейших дробей:

где A, M, N, a, p, q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.

Зачем вообще это нужно?

Да хотя бы для того, чтобы взять интеграл от рациональной дроби. Например:
— кошмар, а после разложения подынтегральной функции на простейшие дроби, все сводится к достаточно простым интегралам

Но об интегралах в другом разделе.

Алгоритм действий.

• Во-первых , смотрим, правильная ли дробь (степень числителя должна быть меньше степени знаменателя). Если дробь неправильная, то сначала делим столбиком числитель на знаменатель, а затем переходим ко второму шагу:
   — исходная дробь. Степень числителя равна степени знаменателя, поэтому, сначала выполняем деление.
  

  Следовательно, 

• Во-вторых , раскладываем знаменатель на множители. Здесь все методы хороши – от вынесения за скобки, применения формул сокращенного умножения, до подбора корня многочлена и последующего деления столбиком (при знаменателе в виде многочлена с целыми коэффициентами степени выше второй). Об этом подробнее в разделе теории – разложение многочленов на множители. В нашем примере все просто – выносим х за скобки.

  

• В-третьих , правильную рациональную дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

  Здесь стоит рассмотреть варианты того, что может быть у Вас в знаменателе.

  • • Если в знаменателе что-то вроде этого  количество множителей роли не играет, (будь их 2 или 22), то ваша дробь представится в виде 
  • • Если в знаменателе что-то вроде этого  количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей (хоть 221ая степень), то ваша дробь представится в виде

      

      Возьмите на заметку: какая степень – столько и слагаемых.

  • • Если в знаменателе что-то вроде этого  количество множителей роли не играет, то ваша дробь представится в виде

      

  • • Если в знаменателе что-то вроде этого  количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей, то ваша дробь представится в виде

      

      ОБЫЧНО ВСТРЕЧАЕТСЯ КОМБИНАЦИЯ ЭТИХ ВАРИАНТОВ (как правило, довольно простая).

  • • Если собрать все в кучу ,то Ваша дробь представится в виде

      

  Хватит теории, на практике все равно понятнее.

  Пришло время вернуться к примеру.

  

• В-четвертых , приводим последнюю сумму к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.

  

• В-пятых , приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х

  

  при этом получаем систему уравнений.

  

• В-шестых , решаем полученную систему уравнений любым способом, который нравится Вам, находим неопределенные коэффициенты. О решении систем линейных уравнений подробнее в разделе – решение систем линейных алгебраических уравнений

  

• В-седьмых , записываем ответ.

  

P.S.

• • Пожалуйста, не ленитесь, проверяйте ответ, приводя к общему знаменателю полученное разложение.

    

• В случаях, когда в знаменателе исходной рациональной дроби следующие выражения  или  или их комбинация, то для нахождения неопределенных коэффициентов проще использовать метод «частных значений» , а не решать систему уравнений. Разберем на примере и Вы все сразу поймете.

  Пример.

  

  Очевидно, что нулями знаменателя являются значения 1, -1 и 3.

  Приравниваем числители.

  

  При х=1 имеем: 

  При х=-1 имеем: 

  При х=3 имеем: 

  После этого подставляем найденные значения в равенство числителей, раскрываем скобки, приводим подобные при одинаковых степенях х и составляем систему уравнений для нахождения оставшихся неизвестных.

  

  (Это намного проще, чем изначально решать систему из 5 уравнений с 5 неизвестными. Здесь система всего с двумя неизвестными).

  

  В итоге имеем:

  

  Удачных решений!