В теории вероятности одно из основных понятий — это событие.
События могут быть достоверными, невозможными и случайными
Достоверное событие — то, что обязательно произойдёт в результате испытания. Например, подброшенная монета упадёт на землю, потому что работает закон всемирного тяготения.
Невозможное событие — то, которое заведомо не произойдёт при испытании. Пример невозможного события: подброшенная вверх монета останется висеть в воздухе.
Случайное событие может произойти или не произойти во время испытания. При этом важно, чтобы были случайные факторы, которые влияют на исход. Случайные события происходят под воздействием этих факторов, и предугадать их воздействие сложно.
Пример случайного события — выпадение «орла» при броске монеты. Здесь случайные факторы — это форма и физические свойства монеты, сила и направление броска, сопротивление воздуха и так далее.
Очень важно понимать, что случайность должна быть настоящей. Например, карточный шулер может умело притворяться, но на самом деле он не полагается на случайные факторы при определении исхода игры.
Результат испытания называется исходом, который представляет собой появление определённого события. При подбрасывании монеты возможно два исхода (случайных события): выпадет орёл или решка. Это предполагает, что условия испытания таковы, что монета не может встать на ребро или зависнуть в воздухе.
Обозначим некоторые случайные события большими латинскими буквами 
, либо теми же буквами с подстрочными индексами, например: 
. При этом необходимо учесть, что одна из букв 
не используется в нашем контексте и зарезервирована для других целей.
Пусть:
— событие, при котором после подбрасывания монеты выпадает «орёл»;
— событие, когда на игральной кости (кубике) выпадает 5 очков;
— событие, в результате которого из колоды достают карту трефовой масти (по умолчанию мы считаем, что колода полная).
В практической деятельности события принято фиксировать именно таким образом. При необходимости можно использовать «говорящие» подстрочные индексы, но это не всегда обязательно.
Необходимо ещё раз подчеркнуть, что случайные события всегда соответствуют критерию случайности. Рассмотрим третий пример: если из колоды убрать все трефы, то событие становится невозможным. А если известно, что дама треф лежит снизу, то можно сделать событие достоверным. Карты должны быть хорошо перемешаны, а рубашки неразличимы, чтобы колода не была краплёной. Под «крапом» здесь подразумеваются любые видимые дефекты карт, которые могут повлиять на случайность исхода. Например, рубашка дамы треф может быть грязной, порванной или заклеенной скотчем.
Поэтому, когда решается важный вопрос с помощью жребия, стоит обратить внимание на то, нет ли чего-то подозрительного в монете, которой вы собираетесь воспользоваться.
Ещё одна важная характеристика событий — их равновозможность. Это значит, что ни одно из событий не является более вероятным, чем другие. Вот несколько примеров равновозможных событий:
- выпадение орла или решки при броске монеты;
- выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика;
- извлечение карты трефовой, пиковой, бубновой или червовой масти из хорошо перетасованной колоды, где рубашки карт неразличимы.
Предполагается, что монета и кубик однородны и имеют правильную форму, а колода идеальна с точки зрения неразличимости рубашек карт.
Могут ли некоторые события быть не равновозможными? Да, такое вполне вероятно! Представьте себе монету или игральный кубик со смещённым центром тяжести. В этом случае определённые грани будут выпадать гораздо чаще других. Вот вам и готовый инструмент для мошенничества!
А если говорить о событиях 
, связанных с извлечением карт из колоды — трефы, пики, червы или бубны, то они кажутся равновероятными. Но даже здесь опытный фокусник может нарушить эту вероятность. Он умело тасует «идеальную» колоду и ловко прячет в рукаве туза треф. И вот уже вероятность того, что оппоненту будет сдана трефа, снижается. А главное — становится меньше шансов на то, что будет сдан туз.
Но несмотря на все эти манипуляции, во всех трёх случаях события всё же остаются случайными.
Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий
События считаются несовместными, если они не могут произойти одновременно в рамках одного испытания. Простейший пример несовместных событий — это пара противоположных явлений. Противоположное событие обычно обозначается добавлением черты над исходным событием, например:
— Орёл выпадает при броске монеты;
— Решка выпадает при броске монеты.
Очевидно, что эти события являются несовместными: если выпал орёл, то решка уже не может выпасть в этом же испытании.
Противоположные события можно легко определить с помощью элементарной логики:
— На игральном кубике выпадает 5 очков;
— На игральном кубике выпало любое число очков, кроме пяти.
Здесь также ясно, что противоположные события не могут произойти одновременно. В случае с игральным кубиком есть только два варианта: либо пять, либо не пять — третьего не дано.
Аналогично и с картами:
— Из колоды извлекается карта трефовой масти;
— Из колоды вытягивается пика, черва или бубна.
В данном случае также возможны только два исхода: либо трефа, либо любая другая масть.
Множество несовместных событий образуют полную группу событий, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно из этих событий. Любая пара противоположных событий (как в приведённых примерах) образует полную группу. Однако в различных задачах с одним и тем же объектом могут фигурировать разные события. Например, для игрального кубика характерно рассмотрение следующего набора:
— Выпадает 1 очко;
— …2 очка;
— …3 очка;
— …4 очка;
— …5 очков;
— …6 очков.
Эти события 
несовместны и образуют полную группу, так как в результате испытания непременно появится одно из них.
Важно также понимать, что такое элементарность исхода (события). Элементарное событие «нельзя разложить на другие события». Например, 
события элементарны, но событие 
не является таковым, так как подразумевает выпадение 1, 2, 3, 4 или 6 очков (включает в себя 5 элементарных исходов).
События 
(извлечение трефы, пики, червы или бубны соответственно) несовместны и образуют полную группу, но они неэлементарны. Если считать, что в колоде 36 карт, то каждое из перечисленных событий включает в себя 9 элементарных исходов. Аналогично 
— события (извлечение шестёрки, семёрки, … короля, туза) несовместны, образуют полную группу и неэлементарны (каждое включает в себя 4 исхода).
Таким образом, элементарным исходом здесь считается лишь извлечение конкретной карты, и, разумеется, 36 несовместных элементарных исходов тоже образуют полную группу событий.
Совместные события менее значимы с точки зрения решения практических задач, но о них тоже стоит упомянуть. События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в отдельно взятом испытании. Например:
— Из колоды карт извлекается трефа;
— Из колоды карт вытаскивают семёрку.
Одно не исключает другого.
Понятие совместности охватывает и большее количество событий:
— Завтра в 12:00 будет дождь;
— Завтра в 12:00 будет гроза;
— Завтра в 12:00 будет солнце.
Хотя совместное появление всех трёх событий маловероятно, оно всё же возможно. Следует отметить, что перечисленные события совместны и попарно, т. е. может быть только ливень с грозой или грибной дождик, или погромыхает неподалёку на фоне ясного неба.
Алгебра событий
Сложение событий в теории вероятностей аналогично логическому оператору «ИЛИ», а умножение событий — логическому «И».
Суммой двух событий 
и 
называется событие 
, которое состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из этих событий или . Если события являются несовместными, то есть они не могут произойти одновременно, то произойдёт только одно из них.
Это правило распространяется на любое количество слагаемых событий. Например, событие 
, состоящее в том, что произойдёт как минимум одно из событий 
, будет иметь место, если эти события несовместны, и только одно из них произойдёт.
Примеры:
- Событие
(при броске игральной кости не выпадет 5 очков) означает, что выпадет либо 1, либо 2, либо 3, либо 4, либо 6 очков. - Событие
(выпадет не более двух очков) заключается в выпадении 1 или 2 очков. - Событие
(будет чётное число очков) включает выпадение 2, 4 или 6 очков. - События
(извлечение карты красной масти) и 
(извлечение «картинки») описывают ситуацию, когда из колоды будет извлечена карта красной масти (черви или бубны) или «картинка» (валет, дама, король или туз).
Перейдём к совместным событиям:
- Событие
означает, что из колоды будет извлечена трефа, семёрка или их сочетание — семёрка треф. Это событие включает 12 возможных исходов, так как имеется 9 трефовых карт и 3 оставшиеся семёрки. - Событие
описывает ситуацию, когда завтра в 12:00 произойдёт хотя бы одно из суммируемых совместных событий: дождь, гроза, солнце или любая их комбинация. Таким образом, событие 
охватывает 7 возможных исходов.
Второй ключевой аспект алгебры событий:
- Произведением двух или более событий называют событие
, состоящее в их одновременном появлении. Иными словами, умножение означает, что при определённых условиях произойдут все указанные события.
Рассмотрим испытание с подбрасыванием двух монет и следующие события:
— на первой монете выпал орёл;
— на второй монете выпал орёл;
— на первой монете выпала решка;
— на второй монете выпала решка.
Тогда:
событие 
заключается в том, что на обеих монетах выпал орёл;
событие 
состоит в том, что на обеих монетах выпала решка;
события 
и 
описывают ситуации, когда на одной монете выпадает орёл, а на другой — решка.
Эти события 
образуют полную группу и являются несовместимыми. Их сумма может быть представлена как 
. Это выражение можно интерпретировать следующим образом: «Выпадут два орла или две решки, или на первой монете выпадет орёл и на второй — решка, или наоборот».
Пример с повторными испытаниями:
Если один и тот же игральный кубик бросается три раза подряд, то возможны различные комбинации результатов. Рассмотрим события:
— в первом броске выпало 4 очка;
— во втором броске выпало 5 очков;
— в третьем броске выпало 6 очков.
Событие 
означает, что в каждом из трёх бросков выпало соответствующее количество очков. В случае с кубиком количество возможных комбинаций значительно больше, чем при подбрасывании монеты.
Вероятность события
Вероятность события — это одно из ключевых понятий в теории вероятностей. С него начинается изучение этого раздела математики.
Есть несколько подходов к определению вероятности:
- классическое определение;
- геометрическое определение;
- статистическое определение.
В этой статье мы сосредоточимся на классическом определении, которое чаще всего используется в учебных задачах.
Обозначения
Вероятность события обозначается большой латинской буквой 
, а само событие заключается в скобки. Например:
— вероятность выпадения «орла» при броске монеты;
— вероятность того, что при броске игральной кости выпадет 5 очков;
— вероятность извлечения карты трефовой масти из колоды.
Также для обозначения вероятности часто используется маленькая буква 
. Этот способ записи особенно удобен при решении практических задач, так как он позволяет сократить запись и сделать её более компактной. В этом случае также можно использовать «говорящие» подстрочные или надстрочные индексы.
Теперь давайте узнаем, как вычислить эти вероятности.
Классическое определение вероятности:
Вероятностью наступления события 
в некотором испытании называют отношение 
, где:
— общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий;
— количество элементарных исходов, благоприятствующих событию 
.
Когда подбрасываешь монетку, то можешь получить либо орла, либо решку — эти два исхода формируют полную группу, и общее число возможных исходов равняется двум 
. Каждый из них элементарен и равновозможен. Событию 
благоприятствует исход 
с выпадением орла. Используя классическое определение вероятностей 
, получаем, что вероятность выпадения орла равна 0,5. Точно так же при броске кубика может появиться 
шесть элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию 
благоприятствует единственный исход 
(выпадение пятёрки). Поэтому вероятность выпадения пятёрки также равна 0,166 (или 1/6) 
.
Обращаю особое внимание на третий пример. Если сказать «раз в колоде четыре масти, то вероятность извлечения трефы» 
, то это будет некорректно. В определении речь идёт об элементарных исходах, поэтому правильный порядок рассуждений такой: всего в колоде 36 карт (несовместные элементарные исходы 
, образующие полную группу), из них девять карт трефовой масти (количество элементарных исходов, благоприятствующих событию). По классическому определению вероятности получается, что шанс вытянуть трефу равен 0,25 или 9/36 
.
Вероятность можно выразить в процентах, но в теории вероятностей это не принято. Вместо этого используют доли единицы, и вероятность может изменяться в пределах от нуля до единицы. Если вероятность равна нулю, то событие невозможно, если единице — достоверно, а если находится между ними — речь идёт о случайном событии.
Если в ходе решения задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности — ищите ошибку!
При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся десять красных шаров, наугад извлекается один шар. Рассмотрим следующие события:
— из урны будет извлечён красный шар;
— из урны будет извлечён зелёный шар.
Общее количество исходов 
: 1. Событию 
благоприятствуют все возможные исходы 
, следовательно 
, то есть данное событие достоверно. Для второго же события благоприятствующие исходы отсутствуют 
, поэтому 
, то есть событие невозможно 
.
Особый интерес представляют события, вероятность наступления которых чрезвычайно мала. Хоть такие события и являются случайными, для них справедлив следующий постулат: в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт. Поэтому, например, крайне мала вероятность выиграть джекпот в лотерее с одним билетом. Но есть и противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт.
В заключительной части этой статьи рассмотрим одну важную теорему: сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице. Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например:
— в результате броска монеты выпадет орёл;
— в результате броска монеты выпадет решка.
По теореме 
сумма их вероятностей равна единице, что логично, поскольку они взаимоисключающие 
. Эта теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность того, что выпадет пятёрка, легко вычислить вероятность того, что она не выпадет. В контексте элементарных исходов эта теорема также находит своё применение. События, как уже упоминалось ранее, являются равновозможными, а следовательно, и равновероятными.
Теперь перейдём к колоде карт: если нам известна вероятность 
извлечения трефы, то мы можем без труда определить вероятность того, что будет извлечена карта другой масти 
.
Важно отметить, что рассматриваемые пары событий 
и 
не обладают равной вероятностью , что является довольно типичной ситуацией. В теории вероятностей принято обозначать вероятность противоположного события строчной буквой 
. Например, если 
— это вероятность попадания стрелка в цель, то 
будет обозначать его промах.
Следует учесть, что использование букв 
и 
в теории вероятностей не рекомендуется для других целей, чтобы избежать путаницы и неоднозначности.