Равносильные системы неравенств, преобразование систем

Продолжаем разговор про равносильность систем. Нам уже известно, что такое равносильные системы уравнений. Сейчас по схожей схеме мы познакомимся с равносильными системами неравенств: сначала дадим определение, после этого покажем, какие преобразования можно проводить с неравенствами системы, чтобы полученная после их проведения система была равносильна исходной.

Определение, примеры

Авторы учебников алгебры почему-то старательно избегают использования термина «равносильные системы неравенств», хотя термин «равносильные системы уравнений» в ходу. Но в тоже время встречаются описания решений систем неравенств следующего формата (см. [1, с. 185]): . И если ввести определение равносильных систем неравенств по аналогии с определением равносильных систем уравнений, то подобные записи можно трактовать так: начальная система неравенств заменяется равносильными ей системами более простого вида. Давайте дадим такое определение равносильных систем неравенств.

Равносильны ли данные системы неравенств?

Если известны решения данных систем, то ответ на поставленный вопрос можно дать сразу, основываясь на определении равносильных систем неравенств. Пусть, например, известно, что система  не имеет решений, как и система . По определению системы неравенств не имеющие решений являются равносильными, значит, данные системы равносильны.

А как быть, если решения неизвестны? Первое, что приходит на ум, это найти решения данных систем неравенств и сделать соответствующий вывод. Но иногда можно обойтись и без этого, если заметить, что одна система может быть получена из другой при помощи так называемых равносильных преобразований, которые мы сейчас и разберем.

Равносильные преобразования систем неравенств

Практически значимых равносильных преобразований для систем неравенств меньше, чем для систем уравнений. Рассмотрим по очереди два из них, которые являются самыми основными и самыми часто используемыми: перестановку местами неравенств системы, а также замену неравенства системы на равносильное ему неравенство. Их можно назвать свойствами систем неравенств. Сформулируем и обоснуем их.

• Если поменять местами неравенства системы, то получится система, равносильная исходной.

  Справедливость озвученного утверждения очевидна и не вызывает вопросов, так как перестановка местами неравенств не влияет на их решения, а, значит, не влияет и на решение системы.

  Приведем пример: системы неравенств  и  — равносильны, так как отличаются лишь порядком записи неравенств в них.

  С практической точки зрения разобранное свойство позволяет, например, переставить на первое место неравенство, которое очевидно не имеет решений, и лишь по нему одному сделать вывод о том, что вся система не имеет решений.

• Если какое-либо неравенство системы заменить равносильным неравенством, то полученная после такой замены система равносильна исходной.

  Обоснование этого равносильного преобразования легко и понятно. Мы знаем, что равносильные неравенства имеют одни и те же решения (или не имеют решений), поэтому, фигурирующие в формулировке разбираемого свойства системы неравенств имеют одинаковые решения (или не имеют решений), а, значит, они равносильны.

  Что означает представленное преобразование? Оно позволяет работать отдельно с любым неравенством системы. Например, первое неравенство системы  можно заменить равносильным ему неравенством, полученным путем приведения подобных слагаемых, это позволяет перейти к системе более простого вида .