В этой статье мы подробно разберем, как проводится сокращение дробей. Сначала обговорим, что называют сокращением дроби. После этого поговорим о приведении сократимой дроби к несократимому виду. Дальше получим правило сокращения дробей и, наконец, рассмотрим примеры применения этого правила.
Что значит сократить дробь?
Мы знаем, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби. По названиям можно догадаться, что сократимые дроби можно сократить, а несократимые – нельзя.
Что же значит сократить дробь? Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на их положительный и отличный от единицы общий делитель. Понятно, что в результате сокращения дроби получается новая дробь с меньшим числителем и знаменателем, причем, в силу основного свойства дроби, полученная дробь равна исходной.
Для примера, проведем сокращение обыкновенной дроби 8/24, разделив ее числитель и знаменатель на 2. Иными словами, сократим дробь 8/24 на 2. Так как 8:2=4 и 24:2=12, то в результате такого сокращения получается дробь 4/12, которая равна исходной дроби 8/24 (смотрите равные и неравные дроби). В итоге имеем 
.
Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду
является несократимой, так как из свойств НОД известно, что 
и 
— взаимно простые числа. Здесь же скажем, что наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби является наибольшим числом, на которое можно сократить эту дробь.
Итак, приведение обыкновенной дроби к несократимому виду заключается в делении числителя и знаменателя исходной сократимой дроби на их НОД.
Разберем пример, для чего вернемся к дроби 8/24 и сократим ее на наибольший общий делитель чисел 8 и 24, который равен 8. Так как 8:8=1 и 24:8=3, то мы приходим к несократимой дроби 1/3. Итак, 
.
Заметим, что под фразой «сократите дробь» часто подразумевают приведение исходной дроби именно к несократимому виду. Другими словами, сокращением дроби очень часто называют деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель (а не на любой их общий делитель).
Как сократить дробь? Правило и примеры сокращения дробей
Осталось лишь разобрать правило сокращения дробей, которое и объясняет, как сократить данную дробь.
Правило сокращения дробей состоит из двух шагов:
- во-первых, находится НОД числителя и знаменателя дроби;
- во-вторых, проводится деление числителя и знаменателя дроби на их НОД, что дает несократимую дробь, равную исходной.
Разберем пример сокращения дроби по озвученному правилу.
Пример.
Сократите дробь 182/195.
Решение.
Выполним оба шага, предписанные правилом сокращения дроби.
Сначала находим НОД(182, 195). Наиболее удобно воспользоваться алгоритмом Евклида (смотрите нахождение НОД): 195=182·1+13, 182=13·14, то есть, НОД(182, 195)=13.
Теперь делим числитель и знаменатель дроби 182/195 на 13, при этом получаем несократимую дробь 14/15, которая равна исходной дроби. На этом сокращение дроби закончено.
Кратко решение можно записать так: .
Ответ:
.
На этом с сокращением дробей можно и закончить. Но для полноты картины рассмотрим еще два способа сокращения дробей, которые обычно применяются в легких случаях.
Иногда числитель и знаменатель сокращаемой дроби несложно разложить на простые множители. Сократить дробь в этом случае очень просто: нужно лишь убрать все общие множители из числителя и знаменателя.
Стоит отметить, что этот способ напрямую следует из правила сокращения дробей, так как произведение всех общих простых множителей числителя и знаменателя равно их наибольшему общему делителю.
Разберем решение примера.
Пример.
Сократите дробь 360/2 940.
Решение.
Разложим числитель и знаменатель на простые множители: 360=2·2·2·3·3·5 и 2 940=2·2·3·5·7·7. Таким образом, 
.
Теперь избавляемся от общих множителей в числителе и знаменателе, для удобства, их просто зачеркиваем: 
.
Наконец, перемножаем оставшиеся множители: 
, и сокращение дроби закончено.
Вот краткая запись решения: 
.
Ответ:
.
Рассмотрим еще один способ сокращения дроби, который состоит в последовательном сокращении. Здесь на каждом шаге проводится сокращение дроби на некоторый общий делитель числителя и знаменателя, который либо очевиден, либо легко определяется с помощью признаков делимости.
Пример.
Сократите дробь 2 000/4 400.
Решение.
Очевидно, что и числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель 100 (смотрите признаки делимости на 10, 100, 1 000). После сокращения исходной дроби на 100 получаем 20/44.
Теперь будем сокращать дробь 20/44. Видно, что числитель и знаменатель полученной дроби делятся на 2 (смотрите признак делимости на 2). После сокращения дроби 20/44 на 2 приходим к дроби 10/22.
Эту дробь опять можно сократить на 2, имеем 5/11. А дробь 5/11 несократимая, поэтому сокращение можно считать завершенным.
Вот все решение: .
Ответ:
.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.