В этой статье мы разберемся как проводится операция сложения над матицами одного порядка, операция умножения матрицы на число и операция умножения матриц подходящего порядка, аксиоматически зададим свойства операций, а также обсудим приоритет операций над матрицами. Параллельно с теорией будем приводить подробные решения примеров, в которых выполняются операции над матрицами.
Сразу заметим, что все нижесказанное относится к матрицам, элементами которых являются действительные (или комплексные) числа.
- Операция сложения двух матриц.
- Определение операции сложения двух матриц.
- Свойства операции сложения матриц.
- Сложение матриц — решения примеров.
- Операция умножения матрицы на число.
- Определение операции умножения матрицы на число.
- Свойства операции умножения матрицы на число.
- Умножение матрицы на число — примеры и их решение.
- Операция умножения двух матриц.
- Определение операции умножения двух матриц.
- Умножение матрицы на матрицу — решения примеров.
- Свойства операции умножения матриц.
- Приоритет операций над матрицами.
Операция сложения двух матриц.
Определение операции сложения двух матриц.
Операция сложения определена ТОЛЬКО ДЛЯ МАТРИЦ ОДНОГО ПОРЯДКА. Другими словами, нельзя найти сумму матриц разной размерности и вообще нельзя говорить о сложении матриц разной размерности. Также нельзя говорить о сумме матрицы и числа или о сумме матрицы и какого-нибудь другого элемента.
Определение.
Сумма двух матриц 
и 
— это матрица, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, то есть, 
.
Свойства операции сложения матриц.
Какими же свойствами обладает операция сложения матриц? На этот вопрос достаточно легко ответить, отталкиваясь от определения суммы двух матриц данного порядка и вспомнив свойства операции сложения действительных (или комплексных) чисел.
- Для матриц А, В и С одного порядка характерно свойство ассоциативности сложения А+(В+С)=(А+В)+С.
- Для матриц данного порядка существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевая матрица. То есть, справедливо свойство А+О=А.
- Для ненулевой матрицы А данного порядка существует матрица (–А), их суммой является нулевая матрица: А+(-А)=О.
- Для матриц А и В данного порядка справедливо свойство коммутативности сложения А+В=В+А.
Следовательно, множество матриц данного порядка порождает аддитивную группу Абеля (абелеву группу относительно алгебраической операции сложения).
Сложение матриц — решения примеров.
Рассмотрим несколько примеров сложения матриц.
Пример.
Найдите сумму матриц 
и 
.
Решение.
Порядки матриц А и В совпадают и равны 4 на 2, поэтому мы можем проводить операцию сложения матриц и в результате должны получить матрицу порядка 4 на 2. Согласно определению операции сложения двух матриц, сложение производим поэлементно:
Пример.
Найдите сумму двух матриц 
и 
элементами которых являются комплексные числа.
Решение.
Так как порядки матриц равны, то мы можем выполнить сложение.
Пример.
Выполните сложение трех матриц 
.
Решение.
Сначала сложим матрицу А с В, затем к полученной матрице прибавим С:
Получили нулевую матрицу.
Операция умножения матрицы на число.
Определение операции умножения матрицы на число.
Операция умножения матрицы на число определена ДЛЯ МАТРИЦ ЛЮБОГО ПОРЯДКА.
Определение.
Произведение матрицы и действительного (или комплексного) числа 
— это матрица, элементы которой получаются умножением соответствующих элементов исходной матрицы на число , то есть, 
.
Свойства операции умножения матрицы на число.
- Для матриц одного порядка А и В, а также произвольного действительного (или комплексного) числа справедливо свойство дистрибутивности умножения относительно сложения
. - Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и
выполняется свойство дистрибутивности 
. - Для произвольной матрицы А и любых действительных (или комплексных) чисел и справедливо свойство ассоциативности умножения
. - Нейтральным числом по умножению на произвольную матрицу А является единица, то есть,
.
Из свойств операции умножения матрицы на число следует, что умножение нулевой матрицы на число ноль даст нулевую матрицу, а произведение произвольного числа и нулевой матрицы есть нулевая матрица.
Умножение матрицы на число — примеры и их решение.
Разберемся с проведением операция умножения матрицы на число на примерах.
Пример.
Найдите произведение числа 2 и матрицы 
.
Решение.
Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый ее элемент умножить на это число:
Пример.
Выполните умножение матрицы 
на число 
.
Решение.
Умножаем каждый элемент заданной матрицы на данное число:
Операция умножения двух матриц.
Определение операции умножения двух матриц.
Операция умножения двух матриц А и В определяется только для случая, когда ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ А РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ В.
Определение.
Произведение матрицы А порядка 
и матрицы В порядка 
— это такая матрица С порядка 
, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В, то есть,
на матрицу порядка является матрица порядка .
Умножение матрицы на матрицу — решения примеров.
Разберемся с умножением матриц на примерах, после этого перейдем к перечислению свойств операции умножения матриц.
Пример.
Найдите все элементы матрицы С, которая получается при умножении матриц 
и 
.
Решение.
Порядок матрицы А равен p=3 на n=2, порядок матрицы В равен n=2 на q=4, следовательно, порядок порядок произведения этих матриц будет p=3 на q=4. Воспользуемся формулой
Последовательно принимаем значения i от 1 до 3 (так как p=3) для каждого j от 1 до 4 (так как q=4), а n=2 в нашем случае, тогда
Так вычислены все элементы матрицы С, и матрица, полученная при умножении двух заданных матриц, имеет вид 
.
Пример.
Выполните умножение матриц 
и 
.
Решение.
Порядки исходных матриц позволяют провести операцию умножения. В результате мы должны получить матрицу порядка 2 на 3.
Пример.
Даны матрицы 
и 
. Найдите произведение матриц А и В, а также матриц В и А.
Решение.
Так как порядок матрицы А равен 3 на 1, а матрицы В равен 1 на 3, то А⋅В будет иметь порядок 3 на 3, а произведение матриц В и A будет иметь порядок 1 на 1.
Как видите, 
. Это одно из свойств операции умножения матриц.
Свойства операции умножения матриц.
Если матрицы А, В и С подходящих порядков, то справедливы следующие свойства операции умножения матриц.
- Свойство ассоциативности умножения матриц
. - Два свойства дистрибутивности
и 
. - В общем случае операция умножения матриц некоммутативна .
- Единичная матрица Е порядка n на n является нейтральным элементом по умножению, то есть, для произвольной матрицы А порядка p на n справедливо равенство
, а для произвольной матрицы А порядка n на p — равенство 
.
Следует отметить, что при подходящих порядках произведение нулевой матрицы О на матрицу А дает нулевую матрицу. Произведение А на О также дает нулевую матрицу, если порядки позволяют проводить операцию умножения матриц.
Среди квадратных матриц существуют так называемые перестановочные матрицы, операция умножения для них коммутативна, то есть 
. Примером перестановочных матриц является пара единичной матрицы и любой другой матрицы того же порядка, так как справедливо 
.
Приоритет операций над матрицами.
Операции умножения матрицы на число и умножения матрицы на матрицу наделены равным приоритетом. В то же время эти операции имеют приоритет выше, чем операция сложения двух матриц. Таким образом, сначала выполняется умножение матрицы на число и умножение матриц, а уже потом производится сложение матриц. Однако, порядок выполнения операций над матрицами может быть задан явно с помощью скобок.
Итак, приоритет операций над матрицами аналогичен приоритету, присвоенному операциям сложения и умножения действительных чисел.
Пример.
Даны матрицы 
. Выполните с заданными матрицами указанные действия 
.
Решение.
Начинаем с умножения матрицы А на матрицу В:
Теперь умножаем единичную матрицу второго порядка Е на два:
Складываем две полученные матрицы:
Осталось выполнить операцию умножения полученной матрицы на матрицу А:
Следует заметить, что операции вычитания матриц одного порядка А и В как таковой не существует. Разность двух матриц по сути есть сумма матрицы А и матрицы В, предварительно умноженной на минус единицу: 
.
Операция возведения квадратной матрицы в натуральную степень так же не самостоятельна, так как является последовательным умножением матриц.
Подведем итог.
На множестве матриц определены три операции: сложение матриц одного порядка, умножение матрицы на число и умножение матриц подходящих порядков. Операция сложения на множестве матриц данного порядка порождает группу Абеля.