Хорошее представление о прямой линии начинается с момента, когда вместе с ее образом одновременно возникают образы ее направляющих и нормальных векторов. Аналогично, при упоминании о плоскости в пространстве, она должна представляться вместе со своим нормальным вектором. Почему так? Да потому что во многих случаях удобнее использовать нормальный вектор плоскости, чем саму плоскость.
В этой статье мы сначала дадим определение нормального вектора плоскости, приведем примеры нормальных векторов и необходимые графические иллюстрации. Далее поместим плоскость в прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве и научимся определять координаты нормального вектора плоскости по ее уравнению.
Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации.
Для хорошего усвоения материала нам потребуется хорошее представление о прямой в пространстве, представление о плоскости и определения из статьи векторы – основные определения.
Дадим определение нормального вектора плоскости.
Определение.
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.
Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.
— нормальный вектор плоскости 
, то вектор 
при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости (смотрите статью условие коллинеарности векторов).
Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.
Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.
Приведем пример нормального вектора плоскости.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Координатные векторы 
являются нормальными векторами плоскостей Oyz, Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы ненулевые и лежат на координатных прямых Ox, Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy соответственно.
Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости.
Общее уравнение плоскости вида 
определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор 
. Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример.
Найдите координаты какого-либо нормального вектора плоскости 
.
Решение.
Нам дано общее уравнение плоскости, коэффициенты перед переменными x, y и z представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой плоскости. Следовательно, 
— один из нормальных векторов заданной плоскости. Множество всех нормальных векторов этой плоскости можно задать как 
, где t — произвольное действительное число, отличное от нуля.
Ответ:
Пример.
Плоскость задана уравнением 
. Определите координаты ее направляющих векторов.
Решение.
Нам дано неполное уравнение плоскости. Чтобы стали видны координаты ее направляющего вектора, перепишем уравнение в виде 
. Таким образом, нормальный вектор этой плоскости имеет координаты 
, а множество всех нормальных векторов запишется как 
.
Ответ:
Уравнение плоскости в отрезках вида 
, как и общее уравнение плоскости, позволяет сразу записать один из нормальных векторов этой плоскости – он имеет координаты 
.
В заключении скажем, что с помощью нормального вектора плоскости могут быть решены различные задачи. Самыми распространенными являются задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, задачи на составление уравнения плоскости, а также задачи на нахождение угла между плоскостями и на нахождение угла между прямой и плоскостью.
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.