Уравнения прямой в пространстве — это уравнения двух пересекающихся плоскостей

Продолжаем изучение темы уравнения прямой в пространстве. Из аксиом стереометрии нам известно, что если две несовпадающие плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В этой статье мы рассмотрим прямую в пространстве именно как линию пересечения двух плоскостей и определим эту прямую линию в прямоугольной системе координат с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей. Материал статьи снабдим примерами, необходимыми графическими иллюстрациями и развернутыми решениями характерных задач.

Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и пусть даны две пересекающиеся и несовпадающие плоскости  и . Так как любую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz определяет общее уравнение плоскости вида  при некотором наборе значений А, В, С и D, то будем считать, что плоскостям  и  соответствуют уравнения  и . Тогда  — нормальный вектор плоскости , а  — нормальный вектор плоскости . Эти векторы не коллинеарны, так как плоскости  и  не совпадают и не параллельны. На языке математики это условие запишется как  (при необходимости смотрите статью параллельность плоскостей). Обозначим буквой a прямую, по которой пересекаются плоскости  и , то есть, .

Прямая а представляет собой множество всех общих точек плоскостей  и . Следовательно, координаты любой точки прямой a удовлетворяют одновременно и уравнению  и уравнению , то есть, являются частным решением системы уравнений . Тогда общее решение системы линейных уравнений вида  определяет координаты каждой точки прямой, по которой пересекаются плоскости  и , а значит, определяет прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве.

Приведем пример прямой в пространстве, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Очевидно, что координатная прямая Ox является прямой, по которой пересекаются координатные плоскости Oxy и Oxz. Плоскость Oxy задается уравнением z = 0, а плоскость Oxz уравнением y = 0 (при необходимости смотрите раздел неполное общее уравнение плоскости). Таким образом, координатная прямая Ox в прямоугольной системе координат Oxyz определяется системой из двух уравнений следующего вида .

Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются две плоскости.

Сначала рассмотрим следующую задачу. Пусть прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве прямая a задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей как  и дана точка трехмерного пространства . Требуется определить, принадлежит ли точка M₀ заданной прямой a.

Для решения поставленной задачи нужно подставить координаты точки  в каждое из двух уравнений, соответствующих пересекающимся плоскостям. Если при этом получим два верных равенства  и  (это будет означать, что точа М₀ принадлежит и плоскости  и ), то точка М₀ принадлежит заданной прямой. Если хотя бы одно из равенств  или  неверно, то точка М₀ не лежит на прямой a.

Рассмотрим пример.

Теперь рассмотрим задачу нахождения координат некоторой точки, лежащей на прямой, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат <i<oxyz< span=»»>определяется уравнениями пересекающихся плоскостей .</i<oxyz<>

Решением этой задачи является любое из бесконечного множества решений системы из двух линейных уравнений с тремя неизвестными вида . Решение подобных систем уравнений подробно разобрано в статье решение систем линейных алгебраических уравнений, в которых число неизвестных переменных не совпадает с количеством уравнений.

Рассмотрим решение примера.

Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости.

В прямоугольной системе координат от прямой линии неотделим направляющий вектор прямой. Когда прямая а в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей  и , то координаты направляющего вектора прямой не видны. Сейчас мы покажем, как их определять.

Мы знаем, что прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этими фактами и воспользуемся при нахождении направляющего вектора прямой.

Прямая а лежит как в плоскости , так и в плоскости . Следовательно, направляющий вектор  прямой а перпендикулярен и нормальному вектору  плоскости , и нормальному вектору  плоскости . Таким образом, направляющим вектором прямой а является векторное произведение векторов  и :

Множество всех направляющих векторов прямой а мы можем задать как , где  — параметр, принимающий любые действительные значения, отличные от нуля.

Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве.

Бывают случаи, в которых использование уравнений двух пересекающихся плоскостей для описания прямой не совсем удобно. Некоторые задачи проще решаются, если известны канонические уравнения прямой в пространстве вида  или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , где x₁, y₁, z₁ — координаты некоторой точки прямой, a_x, a_y, a_z — координаты направляющего вектора прямой, а  — параметр, принимающий произвольные действительные значения. Опишем процесс перехода от уравнений прямой вида  к каноническим и параметрическим уравнениям прямой в пространстве.

В предыдущих пунктах мы научились находить координаты некоторой точки прямой, а также координаты некоторого направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Этих данных достаточно, чтобы записать и канонические и параметрические уравнения этой прямой в прямоугольной системе координат в пространстве.

Рассмотрим решение примера, а после этого покажем еще один способ нахождения канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.

Вот второй способ решения этой задачи.

При нахождении координат некоторой точки прямой мы решаем систему уравнений . В общем случае ее решения можно записать в виде .

А это как раз искомые параметрические уравнения прямой в пространстве. Если каждое из полученных уравнений разрешить относительно параметра  и после этого приравнять правые части равенств, то получим канонические уравнения прямой в пространстве

Покажем решение предыдущей задачи по этому методу.