В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.
Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.
Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.
Определение.
Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.
Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b, отметим на прямой а произвольную точку М1, опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b, обозначив его H1. Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b.
Теорема.
Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.
Доказательство.
Рассмотрим параллельные прямые a и b. Отметим на прямой a точку М1, опустим из нее перпендикуляр на прямую b. Основание этого перпендикуляра обозначим как H1. Тогда длина перпендикуляра М1H1 есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что 
равно 
, где М2 – произвольная точка прямой a, отличная от точки M1, а H2 – основание перпендикуляра, проведенного из точки М2 на прямую b. Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.
Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то 
, а прямая M2H2, перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a. Тогда треугольники М1H1H2 и М2М1H2 прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М1H2 – общая гипотенуза, . Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, 
. Теорема доказана.
Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.
Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения.
Сформулируем условие задачи.
Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.
Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми — чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:
- определить координаты некоторой точки М1, лежащей на прямой a (или на прямой b);
- вычислить расстояние от точки М1 до прямой b (или a).
С определением координат точки М1, лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М1 до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.
В частности, если в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую a задает общее уравнение прямой вида 
, а прямую b, параллельную прямой a, — общее уравнение прямой 
, то расстояние между этими параллельными прямыми можно вычислить по формуле 
.
Покажем вывод этой формулы.
Возьмем точку 
, которая лежит на прямой a, тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство 
, откуда имеем 
.
Если 
, то нормальное уравнение прямой b имеет вид 
, а если 
, то нормальное уравнение прямой b имеет вид 
. Тогда при расстояние от точки до прямой b вычисляется по формуле 
, а при — по формуле
То есть, при любом значении С2 расстояние от точки до прямой b можно вычислить по формуле . А если учесть равенство , которое было получено выше, то последняя формула примет вид 
. На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида и завершен.
Разберем решения примеров.
Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.
Пример.
Найдите расстояние между параллельными прямыми 
и 
.
Решение.
Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида , проходит через точку 
.
Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки до прямой . Вычислим его.
Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида . Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: 
. Теперь вычислим нормирующий множитель: 
. Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: 
. Искомое расстояние равно модулю значения выражения 
, вычисленного при 
. Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно
Второй способ решения.
Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.
Выше мы выяснили, что прямой соответствует общее уравнение прямой 
. Перейдем от параметрических уравнений прямой вида к общему уравнению этой прямой:
Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: 
.
Ответ:
.
Пример.
На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых 
и 
. Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.
Решение.
Канонические уравнения прямой на плоскости вида позволяют сразу записать координаты точки М1, лежащей на этой прямой: 
. Расстояние от этой точки до прямой равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки до прямой : 
.
Второй способ решения.
Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано . Приведем каноническое уравнение прямой к общему уравнению прямой: 
. Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны — они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: 
.
Ответ:
8.
Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.
Пример.
Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми, которым в прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют канонические уравнения прямой в пространстве вида 
и 
.
Решение.
Очевидно, прямая проходит через точку 
. Вычислим расстояние от этой точки до прямой — оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.
Прямая проходит через точку 
. Обозначим направляющий вектор прямой как 
, он имеет координаты 
. Вычислим координаты вектора 
(при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): 
. Найдем векторное произведение векторов 
и 
:
Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: 
.
Ответ:
расстояние между заданными параллельными прямыми равно 
.
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.