Каноническое уравнение прямой на плоскости — теория, примеры, решение задач

В прямоугольной системе координат на плоскости прямая линия может быть задана каноническим уравнением прямой. В этой статье мы сначала выведем каноническое уравнение прямой на плоскости, запишем канонические уравнения прямых на плоскости, которые параллельны координатным осям или совпадают с ними, а также приведем примеры. Далее покажем связь канонического уравнения прямой на плоскости с другими видами уравнения этой прямой. В заключении подробно рассмотрим решения характерных примеров и задач на составление канонического уравнения прямой на плоскости.

Каноническое уравнение прямой на плоскости – описание и примеры.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если  — некоторая точка прямой a и  — направляющий вектор прямой a.

Пусть  — плавающая точка прямой a. Тогда вектор  является направляющим вектором прямой a и имеет координаты  (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек  на плоскости определяют прямую, проходящую через точку  и имеющую направляющий вектор  тогда и только тогда, когда векторы  и  коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов  и : . Последнее равенство в координатной форме имеет вид .

Если  и , то мы можем записать

Полученное уравнение вида  называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение  также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида  задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку  и имеющую направляющий вектор .

Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.

К примеру, уравнение  является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку , а  — ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.

Отметим следующие важные факты:

• если  — направляющий вектор прямой и прямая проходит как через точку , так и через точку , то ее каноническое уравнение можно записать как , так и ;
• если  — направляющий вектор прямой, то любой из векторов  также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, любое из уравнений прямой в каноническом виде  соответствует этой прямой.

А сейчас покажем решение очень важного примера на составление канонического уравнения прямой на плоскости.

Частные случаи канонического уравнения прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости в каноническом виде  используют даже тогда, когда одно из чисел  или  равно нулю (числа  и  одновременно не равны нулю, так как направляющий вектор прямой есть ненулевой вектор). В этом случае запись  считается условной (так как содержится ноль в знаменателе) и ее следует понимать как .

Остановимся на этих частных случаях канонического уравнения прямой на плоскости подробнее.

Если , то каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид , при этом прямая проходит через точку  и параллельна оси ординат Oy (совпадает с осью ординат при ). Действительно, направляющим вектором этой прямой является вектор , а он коллинеарен координатному вектору .

Если , то каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид . Этому уравнению соответствует прямая, которая проходит через точку  и параллельна оси абсцисс Ox (совпадает с осью абсцисс при ). Действительно, — направляющий вектор этой прямой, а он коллинеарен координатному вектору .

Изобразим в прямоугольной системе координат Oxy прямые, которые соответствуют разобранным каноническим уравнениям прямой на плоскости.

Переход от канонического уравнения прямой на плоскости к другим видам уравнения прямой и обратно.

Прямой линии в прямоугольной системе координат Oxy соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Для решения отдельных задач отлично подходит каноническое уравнение прямой на плоскости, но в некоторых случаях удобнее использовать уравнение прямой на плоскости другого вида. В этом пункте мы разберемся с процессом перехода от канонического уравнения прямой на плоскости к уравнениям этой прямой в другом виде.

Каноническому уравнению прямой вида  соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида . Для перехода от уравнения прямой в каноническом виде к параметрическим уравнениям прямой на плоскости нужно лишь принять левую и правую части канонического уравнения прямой равными параметру  и разрешить полученные равенства относительно переменных x и y:

Теперь покажем, как из канонического уравнения прямой на плоскости вида  получить общее уравнение прямой. Для этого достаточно вспомнить, что всякая пропорция  понимается как равенство . Таким образом, . Полученное равенство представляет собой общее уравнение прямой. Это хорошо видно, если принять .

Если известно уравнение прямой в каноническом виде и нужно получить уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом или нормальное уравнение прямой, то сначала следует от канонического уравнения прямой перейти к общему уравнение прямой, а уже от общего уравнения прямой переходить к уравнениям прямой требуемого вида. Эта процедура описана в разделе переход от общего уравнения прямой к уравнениям другого вида. Здесь мы не будем повторяться, а для наглядности покажем решение одного примера.

А сейчас рассмотрим обратную задачу. Разберемся с приведением уравнения прямой на плоскости к каноническому виду.

Покажем, как общее уравнение прямой  приводится к каноническому виду.

Если , то переносим слагаемое  в правую часть равенства  с противоположным знаком . В левой части равенства выносим А за скобки . Полученное равенство можно записать как пропорцию , которая представляет собой искомое каноническое уравнение прямой на плоскости.

Если , то оставляем в левой части общего уравнения прямой  только слагаемое , а остальные переносим в правую часть с противоположным знаком: . Теперь выносим в правой части равенства –B за скобки  и записываем полученное равенство в виде пропорции .

Аналогично к каноническому виду приводятся уравнения прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Переход от параметрических уравнений прямой  к каноническому уравнению  очень прост. Для этого выражаем параметр  в каждом уравнении системы  и, приравняв правые части полученных равенств, получаем каноническое уравнение прямой на плоскости. Вот последовательность действий:

Пусть Вас при этом не смущает равенство нулю одного из чисел  или .

Каноническое уравнение прямой на плоскости – решения характерных примеров и задач.

Во-первых, рассмотрим решения задач, в которых требуется выяснить лежит или не лежит заданная точка на прямой, которая определена каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy.

Напомним, что координаты любой точки прямой удовлетворяют ее уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на прямой, не удовлетворяют.

Теперь разберем решения характерных задач на составление канонического уравнения прямой на плоскости при различных условиях.

Самой легкой задачей на составление канонического уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy является задача, в условии которой даны координаты некоторой точки прямой и координаты направляющего вектора этой прямой. Пример такой задачи разобран в первом пункте этой статьи.

Гораздо чаще при составлении канонического уравнения прямой на плоскости сначала приходится определять координаты направляющего вектора, основываясь на каких-либо дополнительных условиях.

Наиболее типичной является задача на нахождение канонического уравнения прямой, проходящей через две заданные точки плоскости (для более полной информации можете ознакомиться с материалом раздела уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости).

Сейчас рассмотрим примеры составления канонического уравнения прямой на плоскости, когда ее направляющий вектор находится из условия параллельности или перпендикулярности прямых.