Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций

Непосредственное вычисление пределов основано на определении непрерывности функции в точке, на определении предела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции.

Утверждение.

Значение предела в точке непрерывности функции равно значению функции в этой точке.

То есть, для основных элементарных функций (и функций полученных из основных элементарных с помощью элементарных преобразований графиков), опираясь на их известные свойства, предел в любой точке из области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках.

На плюс или минус бесконечности вычисляются соответствующие пределы при  или  на основании определеня предела функции на бесконечности.

Самые используемые свойства пределов.

1. , где k – коэффициент.
2. , если в результате не выходит одна из неопределенностей пределов.
3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:
   

Массу пределов можно вычислить зная свйства основных элементарных функций. Приведем значение пределов этих функций в таблице, а ниже дадим разъяснения и несколько примеров с решениями. Все значения можно вычислить основываясь на определении предела функции в точке и на бесконечности.

Таблица пределов функций

Держите эту таблицу основных пределов перед глазами при решении задач и примеров. Она значительно упростит Вам жизнь.

При непосредственном вычислении пределов функций более сложного вида далеко не всегда сразу получается конкретное значение. Зачастую приходится иметь дело с различными видами неопределенностей.

Закончим этот раздел графическим пояснением таблицы пределов основных элементарных функций.

• Предел постоянной функции (константы).
  Очевидно, предел постоянной функции y=C на бесконечности, так же как и предел постоянной функции при аргументе, стремящемся к некоторому числу x₀, равен числу C.
• Предел функции корень n-ой степени.
   Для четных показателей корня имеем , для нечетных показателей корня, больших единицы, имеем , а при любом x из области определения предел функции корень n-ой степени равен значению функции в этой точке.
• Предел степенной функции.

  Разделим все степенные функции на группы со схожими значениями пределов в зависимости от показателя степени.

  1. Если а — положительное нечетное число, то имеем:  и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать .
     
  2. Если а — положительное четное число, то имеем:  и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать .
     
  3. При других действительных положительных значениях а имеем: , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке.
      
  4. Если а — отрицателное нечетное число, то имеем: , , , , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать  и .
     
  5. Если а — отрицателное четное число, то имеем: , , , , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать  и .
     
  6. При других действительных отрицательных значениях а имеем:  и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке.
      

   

• Предел показательной функции.
   Для  имеем: , , а при любом x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этой точке.

  Для  имеем: , , а при любом x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этой точке.

• Предел логарифмической функции.
   Для  имеем: , , а для остальных x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этих точках.

  Для  имеем: , , а для остальных x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этих точках.

• Предел тригонометрических функций.
   Для функций синуса и косинуса предел на бесконечности не существует,а при любом x из области определения предел равен значению соответствующей функции в этой точке.
  Для функции тангенса имеем ,  или , а для остальных x из области определения предел тангенса равен значению функции в этих точках.
  Для функции котангенса имеем ,  или , а для остальных x из области определения предел котангенса равен значению функции в этих точках.
• Предел обратных тригонометрических функций.
  Для функции арксинус имеем  и , а для остальных x из области определения предел арксинуса равен значению функции в этих точках.
  Для функции арккосинус имеем  и , а для остальных x из области определения предел арккосинуса равен значению функции в этих точках.
  Для функции арктангенс имеем  и , а для остальных x из области определения предел арктангенса равен значению функции в этих точках.
  Для функции котангенса имеем  и , а для остальных x из области определения предел арккотангенса равен значению функции в этих точках.

На этом закончим с пределами основных элементарных функций. Полученные значения пределов будем в дальнейшем постоянно использовать, так что рекомендую запомнить их.

Можете ознакомиться с разделом Пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.