Использование рекуррентных формул при интегрировании

Рекуррентные формулы – это формулы, выражающие n-ый член последовательности через предыдущие члены. При нахождении интегралов они не редко используются.

Мы не ставим целью перечислить все рекуррентные формулы, а хотим дать принцип их получения. Вывод этих формул основан на преобразовании подынтегральной функции и применении метода интегрирования по частям.

К примеру, неопределенный интеграл  можно взять, используя рекуррентную формулу .

Вывод формулы :

Используя формулы тригонометрии, можно записать:

Полученный интеграл найдем методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем cosx, следовательно, .

Поэтому,

Возвращаемся к исходному интегралу:

То есть,

Что и требовалось показать.

1. Для нахождения интегралов вида  используется рекуррентная формула , n – натуральное число.
2. Для нахождения интегралов вида  используется рекуррентная формула .
3. Для нахождения интегралов вида  используется рекуррентная формула .
4. Для нахождения интегралов вида  используется рекуррентная формула .

Приведем еще одну формулу, которая может быть полезна при интегрировании простейших дробей четвертого типа.

Вывод этой формулы основан на преобразовании подынтегральной функции с последующим интегрированием по частям.

Последний интеграл берется по частям при u(z) = z и .

В заключении хочется отметить, что использование рекуррентных формул значительно ускоряет процесс интегрирования. Однако, прийти к результату можно и без них. В этом нам всегда помогут основные методы интегрирования.