Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.
.
То есть, подынтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) — дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) — дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исходный неопределенный интеграл сводится к разности 
. Последний неопределенный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.
В качестве примера найдем множество первообразных функции логарифма.
Пример.
Найти неопределенный интеграл 
Решение.
Найдем этот неопределенный интеграл методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем ln(x), а в качестве d(v(x)) оставшуюся часть подынтегрального выражения, то есть dx.
Имеем, 
, где 
.
Дифференциал функции u(x) есть 
, а функция v(x) – это 
.
ЗАМЕЧАНИЕ: константу С при нахождении функции v(x) считают равной нулю.
Теперь все подставляем в формулу интегрирования по частям:
Ответ:
.
Рассмотрим стандартные случаи.
- Для интегралов вида
или 
, где 
— многочлен степени n, a – коэффициент, в качестве функции u(x) выбираем многочлен .
Пример.
Найти множество первообразных функции
.Решение.
Неопределенный интеграл
можно взять методом интегрирования по частям.В качестве функции u(x) следует взять x+1, тогда d(v(x)) = sin(2x)dx.
Следовательно, d(u(x)) = d(x+1) = dx, а с помощью непосредственного интегрирования получаем
.Выполняем подстановку в формулу интегрирования по частям:
Ответ:
.Пример.
Найти неопределенный интеграл
.Решение.
В качестве функции u(x) нужно взять многочлен второго порядка
, тогда 
.
К полученному интегралу вновь применим метод интегрирования по частям:
Ответ:
.Пример.
Найти интеграл
.Решение.
Используем метод интегрирования по частям. Пусть
, а 
. Тогда 
, а 
. Подставляем в формулу:
Пришли к неопределенному интегралу, который также возьмем по частям:
И еще раз интегрируем по частям:
Ответ:
. - Для интегралов вида
, 
или 
, в качестве функции u(x) выбираем функции ln(ax), arcsin(ax), arcos(ax), arctg(ax) и arcctg(x) соответственно.
Пример.
Найдите множество первообразных функции
.Решение.
При интегрировании по частям примем u(x) = ln(2x), d(v(x)) = (x+1)dx, тогда
и 
. Подставляем в формулу интегрирования по частям:
Ответ:
.Пример.
Найти неопределенный интеграл
.Решение.
Используем метод интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем arcsin(2x), d(v(x)) = xdx, тогда
.Применяем формулу:
Таким образом, пришли к равенству:
Найдем отдельно полученный интеграл
.
Применим метод интегрирования по частям:
Таким образом, получили равенство
.Интеграл в правой части равенства получился таким же как и в левой части. Перенесем его из правой части в левую:
Теперь можно возвращаться к началу примера:
Ответ:
. - Для интегралов вида
или 
в качестве функции u(x) выбираем любую из функций.
Пример.
Найти неопределенный интеграл
.Решение.
Что мы имеем в итоге:
Интегралы в левой и правой частях равенства совпадают, поэтому можно привести подобные слагаемые:
Это стандартный метод для таких задач, и при интегрировании по частям не редко в правой части получается интеграл, совпадающий по виду с исходным.
В других случаях, какую часть подынтегрального выражения брать за функцию u(x), а какую за d(v(x)) выявляется методом проб и ошибок.
Рекомендуем рассмотреть основные методы интегрирования.