Решение квадратных неравенств через выделение квадрата двучлена

Иногда бывает полезно отказаться от стандартов и взглянуть на задачу с другой стороны. В контексте решения квадратных неравенств это означает, что было бы неплохо научиться решать их не только привычным графическим способом или методом интервалов, но и по-другому. Один из таких не совсем обычных подходов к решению мы и изучим в этой статье.

Здесь мы познакомимся с решением квадратных неравенств посредством выделения квадрата двучлена в их левой части. При этом будем по кусочкам излагать теоретическую часть этого вопроса и сразу разъяснять ее, приводя примеры с решениями.

Суть метода

Начнем с сути метода решения квадратных неравенств a·x²+b·x+c<0 (знаки неравенства могут быть и ≤, >, ≥) через выделение квадрата двучлена. Суть проста: используя равносильные преобразования неравенства, от исходного неравенства переходят к равносильному неравенству вида (x−p)²<q (≤, >, ≥), где p и q – некоторые числа, и уже из него делают вывод о решениях исходного неравенства.

Остается выяснить два момента: как исходное квадратное неравенство привести к виду (x−p)²<q (≤, >, ≥), и как решать неравенства такого вида. Осветим их по очереди.

Переход от квадратного неравенства к неравенству (x−p)²<q (≤, >, ≥)

Для приведения квадратного неравенства к виду (x−p)²<q (≤, >, ≥) выполняют следующие действия:

• Первый шаг пропускают, когда коэффициент a при x² равен 1. Если коэффициент a отличен от единицы, то делят обе части неравенства на a. При этом если a>0, то сохраняют знак неравенства, а если a<0, то знак неравенства изменяют на противоположный. Указанное преобразование является равносильным, и в результате получается неравенство с коэффициентом 1 при x², равносильное исходному.
• Второй шаг пропускают, когда отсутствует слагаемое с переменной x в первой степени. Если же коэффициент при x отличен от нуля, то в левой части выделяют квадрат двучлена.
• Наконец, оставшееся слагаемое-число (при его наличии) переносят с противоположным знаком в правую часть неравенства.

В результате этих действий получается неравенство нужного вида.

Разберемся с этими преобразованиями квадратного неравенства на конкретных примерах.

Начнем с неравенства x²≥0. Коэффициент при x² равен 1, поэтому переходим ко второму шагу. Его тоже пропускаем, так как отсутствует слагаемое с переменной x. На третьем шаге тоже ничего не нужно делать, так как в левой части нет слагаемого, представленного числом. Итак, исходное неравенство уже записано в нужном нам виде (x−p)²≥q при p=0 и q=0 (что можно было сразу заметить).

Теперь возьмем квадратное неравенство 5·x²<0. Чтобы его привести к виду (x−p)²<q на первом шаге выполняем деление обеих частей на старший коэффициент, в нашем случае он равен 5, а 5 – положительное число, поэтому, сохраняем знак неравенства; после деления имеем x²<0. Это и есть неравенство нужного нам вида при p=0 и q=0 (второй и третий шаги пропускаем).

Смотрим дальше на квадратное неравенство . Делим его обе части на отрицательное число , изменяя при этом знак неравенства, получаем , что то же самое без иррациональности в знаменателе, . Второй шаг пропускаем из-за отсутствия слагаемого с иксом. И на заключительном этапе переносим свободный член в правую часть: . Так мы получили требуемый вид неравенства (x−p)²<q, где p=0, а .

Берем следующий случай . Для приведения его к нужному нам виду сначала выполняем деление его обеих частей на одну третью, что равносильно умножению на обратное число 3, сохраняем знак неравенства, и оно преображается к виду x²+6·x+9≤0. Здесь есть слагаемое с x, поэтому выполняем действие второго шага алгоритма – выделяем квадрат двучлена, в результате имеем (x+3)²≤0. Третий шаг не нужен, так как после выделения квадрата двучлена не осталось числового слагаемого. Итак, исходное квадратное неравенство мы заменили неравенством (x−p)²≤q, где p=−3 и q=0.

Ну и последний пример. Рассмотрим квадратное неравенство 4·x²−4·x−1<0. Делаем коэффициент при x² равным единице, выполняя деление обеих частей неравенства на 4; получаем . Теперь надо выделить квадрат двучлена:  и дальше . На последнем шаге остается перенести оставшееся слагаемое −1/2 в правую часть, изменив его знак. В результате приходим к неравенству нужного нам вида , где p=1/2, q=1/2.

Как решить неравенство (x−p)²<q (≤, >, ≥)?

Итак, мы научились переходить от решения квадратных неравенств к решению равносильных им неравенств вида (x−p)²<q (≤, >, ≥). Теперь нужно разобраться как решать их. Для этого по очереди рассмотрим три случая: q – отрицательное число, q=0 и q – положительное число.

При q<0

В этом случае (и в следующем при q=0) решение базируется на таком свойстве степени: квадрат любого числа есть число неотрицательное, причем квадрат любого отличного от нуля числа есть положительное число, а квадрат числа есть нуль тогда и только тогда, когда число в основании есть нуль. То есть, d²≥0 для любого числа d, причем d²>0 для любого d≠0, и d²=0 тогда и только тогда, когда d=0.

Итак, пусть q – отрицательное число. Значение выражения (x−p)² всегда неотрицательно в силу упомянутого выше свойства квадрата. Значит, неравенства (x−p)²>p и (x−p)²≥p справедливы для любых значений x, следовательно, их решением является любое действительное число. В свою очередь, неравенства (x−p)²<p и (x−p)²≤p не будут справедливыми ни при каких x, откуда заключаем, что они не имеют решений.

При q=0

Пусть q=0 (то есть, мы рассматриваем неравенства (x−p)²<0, (x−p)²≤0, (x−p)²>0 и (x−p)²≥0). В силу указанного в предыдущем пункте свойства квадрата числа, значение выражения (x−p)² больше нуля для всех x, удовлетворяющих условию x−p≠0, и равно нулю, когда x−p=0. Отсюда следует, что

• Неравенство (x−p)²>0 справедливо для всех значений x, при которых x−p≠0, то есть, его решение таково: x≠p.
• Неравенство (x−p)²≥0 справедливо для всех значений x, значит, его решением является множество R.
• Неравенство (x−p)²<0 не будет справедливым ни при каких действительных значениях x, значит, оно не имеет решений.
• Наконец, решением неравенства (x−p)²≤0 будет лишь единственное значение переменной x, при котором x−p=0, то есть, p.

При q>0

Осталось разобраться с решением неравенств (x−p)²<q, (x−p)²≤q, (x−p)²>q и (x−p)²≥q при положительном q.

В основе их решения лежат два свойства корня: для положительных чисел u и v из неравенства u<v (≤, >, ≥) следует неравенство  (≤, >, ≥), и для любого действительного числа t имеет место равенство . Эти свойства от неравенства (x−p)²<q (≤, >, ≥) позволяют перейти к равносильному иррациональному неравенству , и дальше к неравенству с модулем  (≤, >, ≥).

Неравенства с модулем обычно решаются через раскрытие модуля. Например, от неравенства  можно перейти к двум системам неравенств без модуля  и . Для наглядности решим пример.

Покажем еще один достаточно удобный, а главное – наглядный, способ решения неравенств вида  (≤, >, ≥), позволяющий обходиться без решения систем. В его основе лежит геометрический смысл модуля.

В геометрическом толковании модуль |x−p| — это расстояние на координатной прямой от точки с координатой x до точки с координатой p. Поэтому,

• Неравенству  удовлетворяют координаты всех таких точек координатной прямой, расстояние от которых до точки с координатой p меньше, чем . Проиллюстрируем это:
  То есть, его решениями являются числа из интервала .
• Неравенство  будет справедливо для всех таких x, при которых расстояние от точки с координатой p меньше или равно .
  В этом случае решение неравенства запишется как .
• При решении неравенства  нас интересуют такие точки, расстояние до которых от точки с координатой p, больше .
  Решение неравенства в этом случае таково: .
• Наконец, неравенство  геометрически представляется следующим чертежом
  И решением неравенства является множество .

А сейчас для сравнения решим предыдущий пример, основываясь на только что приведенных выкладках.