Рекомендуем перейти к новой версии этой статьи.
Определение
Областью определения функции 
(выражения f(x) ) называют множество всех значений x , для которых функция (выражение) имеет смысл.
Область определения функции обозначается как 
или 
.
Дальнейшее изложение предполагает знание областей определения основных элементарных функций, знание классификации элементарных функций , а так же умение решать различные виды неравенств и систем неравенств.
При нахождении области определения функции приходится решать различные неравенства (иррациональные, логарифмические, тригонометрические и т.п.) и системы неравенств. Мы не будем подробно останавливаться на их решении, а иногда и вовсе будем оставлять без решения, так как это выходит за рамки данного раздела.
Что указывает на наличие ограничений области определения:
- присутствие корней четной степени вида
, где n — четное, например, 
(наличие степенной функции с дробным показателем, знаменатель которого есть четное число, например, 
); Примеры нахождения области определения степенной функции… - присутствие функции логарифма вида
, например, 
или 
; Нахождение области определения логарифмической функции… - присутствие дробей вида
, например, 
; Нахождение области определения дроби… - присутствие функций тангенса вида
и котангенса вида 
, например, 
или 
; Примеры нахождения области определения тангенса и котангенса… - присутствие функций арксинуса вида
и арккосинуса вида 
, например, 
или 
; Примеры нахождения области определения арксинуса и арккосинуса… - присутствие показательно степенных функций вида
, например, 
; Нахождение области определения показательно степенной функции… - присутствие любых комбинаций всех вышеперечисленных случаев, например,
Нахождение области определения элементарных функций…
Как находить область определения в каждом случае.
Сначала будем считать функции y=f(x) и y=g(x) — основными элементарными функциями, чтобы разобраться с принципом нахождеия области определения.
В седьмом пункте рассмотрим случаи, когда y=f(x) и y=g(x) элементарные функции, то есть случаи, когда y=f(x) и y=g(x) представляют из себя сложные функции и их комбинации.
- Для функций вида , где n — четное, область определения находится из системы:
Пример.
Найти область определения функции
Решение.
Записываем систему
Как известно из свойств основных элементарных функций, область определения синуса есть все действительные числа, следовательно, система примет вид:
Решение последнего неравенства и даст искомую область определения.
Ответ:
Пример.
Выяснить область определения степенной функции
Решение.
Запишем функцию в виде радикала
Записываем систему
Как известно из свойств основных элементарных функций, область определения логарифма есть все действительные положительные числа, следовательно, система примет вид:
Ответ:
— область определения исходной степенной функции.Пример.
Дана функция
. Найти ее область определения.Решение.
В данном примере корень нечетной степени, следовательно, на область определения он влияния не окажет. Таким образом, область определения исходной функции совпадает с областью определения функции под знаком радикала.
Область определения арктангенса есть все действительные числа, поэтому
Ответ:
— область определения исходной степенной функции. - Для логарифмических функций вида область определения находится из системы:
Пример.
Найти область определения логарифмической функции
Решение.
Записываем систему
Как известно из свойств основных элементарных функций, арксинус определен для
и принимает положительные значения при 
(на графике арксинуса все прекрасно видно), следовательно, система примет вид:
Ответ:
— область определения исходной функции.Пример.
Найти область определения логарифмической функции
Решение.
Проведем тождественное преобразование исходной функции (перейдем к новому основанию в логарифме по одному из свойств логарифмов):
Получили дробь, причем числитель представляет собой сложную функцию. Про нахождение области определения подобных выражений поговорим в последнем седьмом пункте, а про нахождение области определения дробей — в следующем пункте.
- Для дробей вида область определения находится из системы:
Условие 
продиктовано тем, что в противном случае получаем ноль в знаменателе дроби, а значения таких выражений не определены.
Пример.
Найти область определения функции
Решение.
Записываем систему
Как известно из свойств основных элементарных функций, областью определения показательной функции являются все действительные числа и областью определения степенной функции с показателем равным единице являются также все действительные числа, следовательно, система примет вид:
Ответ:
— область определения исходной функции. - Для функций тангенса или котангенса вида или область определения находится из систем соответственно:
или
Пример.
Найти область определения функции
Решение.
Записываем систему для тангенса:
Как известно из свойств основных элементарных функций, областью определения синуса являются все действительные числа, а область значений есть интервал
, следовательно, sinx не равен 
для любых x, поэтому:
Ответ:
— область определения исходной функции.Пример.
Дана функция
. Найти ее область определения.Решение.
Записываем систему для котангенса:
Как известно из свойств основных элементарных функций, областью определения показательной функции являются все действительные числа, следовательно, система примет вид:
где N – множество натуральных чисел.Ответ:
— область определения исходной функции. - Для функций арксинус или арккосинус вида или область определения находится из системы:
Объясляется эта система тем, что областью определения арксинуса и арккосинуса является отрезок от -1 до 1.
Пример.
Дана функция
. Найти ее область определения.Решение.
Записываем систему:
Обращаемся к свойствам функции тангенса и переходим к следующей системе:
где Z – множество действительных чисел.Ответ:
— область определения исходной функции. - Для показательно степенных функций вида вида область определения находится из системы:
Пример.
Найти область определения функции
Решение.
Записываем систему
Как известно из свойств основных элементарных функций, областью определения арксинуса является интервал
, арксинус больше нуля при 
.Вторая строка представляет собой область определения дроби (смотрите третий пункт):
Следовательно, исходная система примет вид:
Ответ:
— область определения исходной функции. - Вот мы и добрались до самого интересного. В предыдущем примере уже чуть-чуть затронули область определения комбинации функций. Рассмотрим этот момент подробно.Область определения суммы (разности) функций вида
находится из системы:
Область определения любой комбинации рассмотренных выше функций вида
находится из системы:
Пример.
Найти область определения функции
Решение.
Больше чем уверен, что Вам не зададут почти ничего более хитрого.
Разберем исходную функцию по кусочкам.
Наша функция представляет собой сумму (разность) трех выражений:
, 
и 
, поэтому область определения можно представить в виде системы:
Рассмотрим по-порядку каждое выражение.
Первое выражение
не накладывает никаких ограничений на область определения (не встречается в пунктах с первого по шестой), поэтому 
и переходим ко второму выражению.Во втором выражении
функция синуса не накладывает никаких ограничений, но далее следует дробь, поэтому
Пришли к корню четной степени, поэтому
Третье выражение есть показательно степенная функция
, поэтому
Рассмотрим по отдельности все строки полученной системы.
- Первое выражение содержит функцию логарифма, поэтому
- Второе выражение содержит функцию арксинуса, поэтому
(Использовали свойства степенной функции
при переходах.) - Решением неравенства
является интервал 
.
Поэтому:
Осталось все промежуточные результаты подставить в исходную систему:
Ответ:
— область определения исходной функции.Дорешаем пример с логарифмической функцией из второго пункта.
Пример.
Найти область определения функции
Решение.
Проведем тождественное преобразование исходной функции (перейдем к новому основанию в логарифме по одному из свойств логарифмов):
Ограничимся преобразованиями без пояснения:
- Первое выражение содержит функцию логарифма, поэтому
ЗАМЕЧАНИЕ.
Находить область определения желательно до проведения преобразований функций и выражений, так как некоторые преобразования не являются тождественными и область определения полученных выражений может отличаться от исходной.
Пример.
Найти область определения функции 
Решение.
Это и есть искомая область определения.
Если бы мы сначала упростили вид функции, то получили бы лишнюю точку х=-1 в области определения:
Так что будьте очень внимательны при проведении упрощений и сокращений.
На этом закончим с этой важной темой.