Основные элементарные функции, их свойства и графики

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

• область определения функции;
• поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
• четность и нечетность;
• область значений функции;
• промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;
• промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
• наклонные и горизонтальные асимптоты;
• особые точки функций;
• особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Если Вас интересует дифференцирование элементарных функций или интегрирование элементарных функций, то можете перейти к этим разделам теории.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5, y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства постоянной функции.

• Область определения: все множество действительных чисел.
• Постоянная функция является четной.
• Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.
• Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
• Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n-ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n-ой степени, n — четное число.

Начнем с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций  и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n-ой степени при четных n.

• Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел .
• При x=0 функция  принимает значение, равное нулю.
• Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).
• Область значений функции: .
• Функция  при четных показателях корня возрастает на всей области определения.
• Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и (1,1).

Корень n-ой степени, n — нечетное число.

Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций  и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

При других нечетных значениях показателя корня графики функции  будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n.

• Область определения: множество всех действительных чисел.
• Эта функция нечетная.
• Область значений функции: множество всех действительных чисел.
• Функция  при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.
• Эта функция вогнутая на промежутке  и выпуклая на промежутке , точка с координатами (0,0) – точка перегиба.
• Асимптот нет.
• График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1), (0,0) и (1,1).

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции  при нечетных положительных значениях показателя a, далее — при четных положительных, далее — при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию  при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия,  – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

• Область определения: .
• Область значений: .
• Функция нечетная, так как .
• Функция возрастает при .
• Функция выпуклая при  и вогнутая при  (кроме линейной функции).
• Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию  с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

• Область определения: .
• Область значений: .
• Функция четная, так как .
• Функция возрастает при , убывает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции  при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия,  – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

• Область определения: .
  При x=0 имеем разрыв второго рода, так как  при а=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений: .
• Функция нечетная, так как .
• Функция убывает при .
• Функция выпуклая при  и вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как
  
  при а=-1,-3,-5,….
• Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции  при а=-2,-4,-6,….

На рисунке изображены графики степенных функций  – черная линия,  – синяя линия,  – красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

• Область определения: .
  При x=0 имеем разрыв второго рода, так как  при а=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений: .
• Функция четная, так как .
• Функция возрастает при , убывает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как
  
  при а=-2,-4,-6,….
• Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Обратите внимание! Если a — положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию  с рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций  при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия),  (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

При других значениях показателя степени a,  графики функции  будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

• Область определения: .
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция возрастает при .
• Функция выпуклая при .
• Точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим степенную функцию  с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем .

Приведем графики степенных функций, заданных формулами  (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a,  графики функции  будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

• Область определения: .
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция возрастает при .
• Функция вогнутая при , если ; при , если .
• Точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a — отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество  соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции , кгода .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций  (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a, .

• Область определения: .
   при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция убывает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
• Функция проходит через точку (1;1).

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций  при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

• Область определения: .
   при , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция убывает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
• Функция проходит через точку (1;1).

При а=0 и  имеем функцию  — это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0⁰ условились не придавать никакого значения).

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции , где  и  принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

• Областью определения показательной функции является все множество действительнйх чисел: .
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть, она общего вида.
• Показательная функция, основание которой меньше единицы, убывает на всей области определения.
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к плюс бесконечности.
• Функция проходит через точку (0;1).

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций  – синяя линия и  – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

• Область определения показательной функции: .
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает при .
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0 при х стремящемся к минус бесконечности.
• Функция проходит через точку (0;1).

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда .

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием меньшим единицы.

• Область определения логарифмической функции: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к плюс бесконечности.
• Область значений: .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Логарифмическая функция убывает на всей области определения.
• Функция вогнутая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальных асимптот нет.
• Функция проходит через точку (1;0).

Перейдем к случаю, когда основание логарифмической функции больше единицы ().

Покажем графики логарифмических функций  – синяя линия,  – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Свойства логарифмической функции с основанием большим единицы.

• Область определения: . При х стремящемся к нулю справа, значения функции стремятся к минус бесконечности.
• Областю значений логарифмической функции является все множество действительных чисел, то есть, интервал .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция возрастает при .
• Функция выпуклая при .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальных асимптот нет.
• Функция проходит через точку (1;0).

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода , где Т — период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют «синусоида».

Свойства функции синус y = sinx.

• Областью определения функции синус является все множество действительных чисел, то есть, функция y = sinx определена при .
• Наименьший положительный период функции синуса равен двум пи: .
• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
• Функция синус принимает значения из интервала от минус единицы до единицы включительно, то есть, ее область значений есть .
• Функция синус — нечетная, так как .
• Функция убывает при ,возрастает при .
• Функция синус имеет локальные максимумы в точках ,
  локальные минимумы в точках .
• Функция y = sinx вогнутая при ,
  выпуклая при .
• Координаты точек перегиба .
• Асимптот нет.

Функция косинус y = cos(x).

График функции косинус (его называют «косинусоида») имеет вид:

Свойства функции косинус y = cosx.

• Область определения функции косинус: .
• Наименьший положительный период функции y = cosx равен двум пи: .
• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
• Область значений функции косинус представляет интервал от минус единицы до единицы включительно: .
• Функция косинус — четная, так как .
• Функция убывает при ,
  возрастает при .
• Функция y = cosx имеет локальные максимумы в точках ,
  локальные минимумы в точках .
• Функция вогнутая при ,
  выпуклая при .
• Координаты точек перегиба .
• Асимптот нет.

Функция тангенс y = tg(x).

График функции тангенс (его называют «тангенсоида») имеет вид:

Свойства функции тангенс y = tgx.

• Область определения функции тангенс: , где , Z – множество целых чисел.
  Поведение функции y = tgx на границе области определения 
  Следовательно, прямые , где , являются вертикальными асимптотами.
• Наименьший положительный период функции тангенс .
• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
• Область значений функции y = tgx: .
• Функция тангенс — нечетная, так как .
• Функция возрастает при .
• Функция вогнутая при ,выпуклая при .
• Координаты точек перегиба .
• Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Функция котангенс y = ctg(x).

Изобразим график функции котангенс (его называют «котангенсоида»):

Свойства функции котангенс y = ctgx.

• Область определения функции котангенс: , где , Z – множество целых чисел.
  Поведение на границе области определения 
  Следовательно, прямые , где  являются вертикальными асимптотами.
• Наименьший положительный период функции y = ctgx равен пи: .
• Функция обращается в ноль при , где , Z – множество целых чисел.
• Область значений функции котангенс: .
• Функция нечетная, так как .
• Функция y = ctgx убывает при .
• Функция котангенс вогнутая при ,
  выпуклая при .
• Координаты точек перегиба .
• Наклонных и горизонтальных асимптот нет.

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки «арк» обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x).

Изобразим график функции арксинус:

Свойства функции арксинус y = arcsin(x).

• Областью определения функции арксинус является интервал от минус единицы до единицы включительно: .
• Область значений функции y = arcsin(x): .
• Функция арксинус — нечетная, так как .
• Функция y = arcsin(x) возрастает на всей области определения, то есть, при .
• Функция вогнутая при , выпуклая при .
• Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
• Асимптот нет.

Функция арккосинус y = arccos(x).

График функции арккосинус имеет вид:

Свойства функции арккосинус y = arccos(x).

• Область определения функции арккосинус: .
• Область значений функции y = arccos(x): .
• Функция не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
• Функция арккосинус убывает на всей области определения, то есть, при .
• Функция вогнутая при , выпуклая при .
• Точка перегиба .
• Асимптот нет.

Функция арктангенс y = arctg(x).

График функции арктангенс имеет вид:

Свойства функции арктангенс y = arctg(x).

• Область определения функции y = arctg(x): .
• Область значений функции арктангенс: .
• Функция арктангенс — нечетная, так как .
• Функция возрастает на всей области определения, то есть, при .
• Функция арктангенс вогнутая при , выпуклая при .
• Точка перегиба (0; 0), она же ноль функции.
• Горизонтальными асимптотами являются прямые  при  и  при . На чертеже они показаны зеленым цветом.

Функция арккотангенс y = arcctg(x).

Изобразим график функции арккотангенс:

Свойства функции арккотангенс y = arcctg(x).

• Областью определения функции арккотангенс является все множество действительных чисел: .
• Область значений функции y = arcctg(x): .
• Функция арккотангенс не является ни четной ни нечетной, то есть, она общего вида.
• Функция убывает на всей области определения, то есть, при .
• Функция вогнутая при , выпуклая при .
• Точка перегиба .
• Горизонтальными асимптотами являются прямые  при  (на чертеже показана зеленым цветом) и y = 0 при .