Материал этой статьи представляет собой общий взгляд на преобразование выражений, содержащих дроби. Здесь мы рассмотрим основные преобразования, которые характерны для выражений с дробями.
Выражения с дробями и дробные выражения
Для начала проясним, с преобразованием выражений какого вида мы собрались разбираться.
В заголовке статьи фигурирует говорящее за себя словосочетание «выражения с дробями». То есть, ниже речь пойдет о преобразовании числовых выражений и выражений с переменными, в записи которых присутствует хотя бы одна дробь.
Сразу заметим, что после выхода в свет статьи «преобразование дробей: общий взгляд» нам уже не интересны отдельные дроби. Таким образом, дальше мы будем рассматривать суммы, разности, произведения, частные и более сложные выражения с корнями, степенями, логарифмами, объединяет которые лишь наличие хотя бы одной дроби.
И еще оговоримся про дробные выражения. Это не то же самое, что выражения с дробями. Выражения с дробями – более общее понятие. Не каждое выражение с дробями есть дробное выражение. Например, выражение 
не является дробным выражением, хотя и содержит дробь, это целое рациональное выражение. Так что не стоит называть выражение с дробями дробным выражением, не будучи полностью уверенным, что оно является таковым.
Основные тождественные преобразования выражений с дробями
Понятно, что все преобразования должны проводиться в согласии с принятым порядком выполнения действий.
Пример.
Упростите выражение 
.
Решение.
В данном случае можно раскрыть скобки, что даст выражение 
, в котором присутствуют подобные слагаемые 
и 
, а также −3 и 3. После их приведения получим дробь 
.
Покажем краткую форму записи решения:
Ответ:
.
Пример.
Представьте выражение 
в виде квадрата суммы.
Решение.
Представим число 6 как 2·3, а 9 как 32. В результате исходное выражение с дробями примет вид 
. Остается воспользоваться формулой сокращенного умножения квадрат суммы: 
.
Ответ:
.
Работа с отдельными дробями
Выражения, о преобразовании которых мы говорим, отличаются от других выражений главным образом наличием дробей. А наличие дробей требует инструментов для работы с ними. В этом пункте мы обсудим преобразование отдельных дробей, входящих в запись данного выражения, а в следующем пункте перейдем к выполнению действий с дробями, составляющими исходное выражение.
С любой дробью, которая является составной частью исходного выражения, можно выполнять любое из преобразований, обозначенных в статье преобразование дробей. То есть, можно взять отдельную дробь, поработать с ее числителем и знаменателем, сократить ее, привести к новому знаменателю и т.д. Понятно, что при этом преобразовании выбранная дробь заменится тождественно равной ей дробью, а исходное выражение – тождественно равным ему выражением. Давайте рассмотрим пример.
Пример.
Преобразовать выражение с дробью 
к более простому виду.
Решение.
Преобразование начнем с того, что поработаем с дробью 
. Для начала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе дроби: 
. Теперь напрашивается вынесение за скобки общего множителя x в числителе и последующее сокращение алгебраической дроби: 
. Остается лишь подставить полученный результат вместо дроби в исходное выражение, что дает 
.
Ответ:
.
Выполнение действий с дробями
Частью процесса преобразования выражений с дробями часто является выполнение действий с дробями. Они проводятся в соответствии с принятым порядком выполнения действий. Также стоит иметь в виду, что любое число или выражение всегда можно представить в виде дроби со знаменателем 1.
Пример.
Упростите выражение 
.
Решение.
К решению поставленной задачи можно подходить с разных сторон. Мы в контексте разбираемой темы пойдем путем выполнения действий с дробями. Начнем с умножения дробей:
Теперь произведение 
запишем в виде дроби со знаменателем 1, после чего проведем вычитание дробей:
При желании и необходимости можно еще освободиться от иррациональности в знаменателе 
, на чем можно закончить преобразования.
Ответ:
.
Применение свойств корней, степеней, логарифмов и т.п.
Класс выражений с дробями очень широк. Такие выражения помимо собственно дробей, могут содержать корни, степени с различными показателями, модули, логарифмы, тригонометрические функции и т.п. Естественно, при их преобразовании применяются соответствующие свойства.
Применимо к дробям, стоит выделить свойство корня из дроби 
, свойство дроби в степени 
, свойство модуля частного 
и свойство логарифма разности 
.
Для наглядности приведем несколько примеров. Например, в выражении 
может быть полезно на базе свойств степени первую дробь заменить степенью 
, что в дальнейшем позволяет представить выражение в виде квадрата разности. При преобразовании логарифмического выражения 
можно логарифм дроби заменить разностью логарифмов, что в дальнейшем позволяет привести подобные слагаемые и тем самым упростить выражение: 
. Преобразование тригонометрических выражений может потребовать заменить отношение синуса к косинусу одного и того же угла тангенсом. Также возможно придется от половинного аргумента по соответствующим формулам переходить к целому аргументу, тем самым избавляясь от аргумента-дроби, например, 
.
Применение свойств корней, степеней и т.п. к преобразованию выражений более подробно освещено в статьях: