Использование свойств степеней при преобразовании выражений

Данную статью стоит рассматривать как составную часть материала преобразование степенных выражений. Там мы вкратце затронули тему преобразования выражений с использованием свойств степеней. Здесь мы уделим ей более пристальное внимание: на примерах разберем все тонкости преобразования выражений на базе свойств степеней.

Содержание

Напомним свойства степеней
Преобразование числовых выражений со степенями
Преобразование выражений с переменными в основаниях степеней

Напомним свойства степеней

Имеют место следующие свойства степеней для a>0, b>0 и любых действительных r и s:

a^r·a^s=a^r+s;
a^r:a^s=a^r−s;
(a·b)^r=a^r·b^r;
(a:b)^r=a^r:b^r;
(a^r)^s=a^r·s.

Обязательно нужно помнить, что для натуральных, целых и положительных показателей степеней ограничения на числа a и b могут быть не столь строгими. Укажем их для этих случаев.

Если r и s – натуральные числа, a и b – действительные числа, то

a^r·a^s=a^r+s;
a^r:a^s=a^r−s при r>s и a≠0;
(a·b)^r=a^r·b^r;
(a:b)^r=a^r:b^r при b≠0;
(a^r)^s=a^r·s.

Когда r и s – целые числа и хотя бы одно из них не натуральное (случай натуральных r и s здесь мы не будем затрагивать, так как соответствующие свойства мы только что перечислили выше), a и b – действительные числа, то

a^r·a^s=a^r+s при r≤0 и/или s≤0, a≠0;
a^r:a^s=a^r−s при r≤0 и/или s≤0, a≠0;
(a·b)^r=a^r·b^r при r≤0, a≠0, b≠0;
(a:b)^r=a^r:b^r при r≤0, a≠0, b≠0;
(a^r)^s=a^r·s при r≤0 и/или s≤0, a≠0.

Когда r и s – положительные действительные числа и хотя бы одно из них не целое (случаю целых r и s отвечают свойства выше), a и b – действительные числа, то

a^r·a^s=a^r+s при a≥0;
a^r:a^s=a^r−s при a>0;
(a·b)^r=a^r·b^r при a≥0, b≥0;
(a:b)^r=a^r:b^r при a≥0, b>0;
(a^r)^s=a^r·s при a≥0.

Сразу поясним, для чего мы так кропотливо расписали все ограничения для чисел в основаниях степеней в зависимости от значений показателей. В принципе, для преобразования выражений со степенями достаточно самого первого блока из пяти формул. Но для их использования придется постоянно добиваться того, чтобы в основании степеней были только положительные числа или выражения, принимающие только положительные значения (этого требуют условия a>0, b>0). Это, естественно, удлиняет процесс преобразования выражений, все степени в которых имеют натуральные, целые или положительные показатели, а в основаниях фигурируют отрицательные числа, нули и выражения, принимающие не только положительные значения. Такие выражения лучше преобразовывать с использованием формул, соответствующих показателям содержащихся в них степеней. Ниже мы приведем примеры, иллюстрирующие эти слова.

К началу страницы

Преобразование числовых выражений со степенями

Изучать, как осуществляется преобразование выражений с использованием свойств степеней, начнем на числовых выражениях. А уже в следующем пункте перейдем к преобразованию выражений с переменными в основаниях степеней.

Когда основания всех степеней, фигурирующих в преобразовываемом выражении, являются положительными числами, можно безбоязненно использовать формулы a^r·a^s=a^r+s, a^r::a^s=a^r−s, (a·b)^r=a^r·b^r, (a::b)^r=a^r::b^r, (a^r)^s=a^r·s, отвечающие свойствам степеней. Причем применять их можно как слева направо, так и справа налево.

Пример.

Упростите выражения: а) (2,136)⁵::(2,136)⁴, б) , в) .

Решение.

а) Понятно, что можно вычислить значение данного выражения, выполнив возведение в степень и последующее деление. Но в данном случае это не лучший подход, так как он сопряжен со значительными вычислительными сложностями.

Намного рациональнее будет преобразовать исходное выражение с использованием свойства деления степеней с одинаковыми основаниями, которому отвечает равенство a^r::a^s=a^r−s. В нашем случае a=2,136, r=5, s=4, и мы имеем полное право применить указанную формулу: (2,136)⁵::(2,136)⁴=(2,136)⁵⁻⁴=(2,136)¹=2,136.

б) Все числа в основаниях степеней π, 1/6 и 6 — положительные, это позволяет спокойно использовать свойства степеней при проведении преобразований. Выражение π^2,4·π^1,3::π^1,7 преобразуем по свойствам умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: π^2,4·π^1,3::π^1,7=π^2,4+1,3::π^1,7=π^3,7::π^1,7=π^3,7−1,7=π². А произведение степеней с одинаковыми показателями заменим степенью произведения по формуле (a·b)^r=a^r·b^r, примененной справа налево, имеем . Таким образом, .

После приобретения достаточной практики в использовании свойств степеней, преобразования можно будет описывать кратко:

в) Осталось разобраться с выражением . Число 2 – положительное, поэтому выражение можно преобразовать по свойству степени в степени: . В выражении в первую очередь вычисляем значение выражения в основании степени, получаем . Так как 2,2 – положительное число, то можно применять формулу, отвечающую свойству степени в степени. В нашем случае ее придется применить дважды:

Подставляем полученные результаты в исходное выражение и завершаем его преобразование:
.

Без пояснений решение выглядело бы так:

Ответ:

а) (2,136)⁵::(2,136)⁴=2,136, б) , в) .

Интереснее обстоит дело с преобразованием выражений, которые содержат степени с отрицательными числами и нулями в основаниях. Мы, естественно, имеем в виду, что указанные выражения не лишены смысла. Например, лишены смысла степени , (−1)^3,5, , 0⁻³, 0⁰, и о преобразовании выражений, содержащих такие степени, не может быть и речи. Напротив, степени (−2)³, (−1,5)⁻², 0^2·π, ((−2)·(−3))^0,2 и т.п. имеют смысл, и мы можем преобразовывать содержащие их выражения.

Главный вопрос, который следует постоянно задавать себе при преобразовании таких выражений с использованием свойств степеней, звучит так: «Имеем ли мы право применять выбранное свойство степеней для данных оснований и показателей»? Другими словами, всегда нужно проверять выполнение условий для чисел a, b, r, s, которые указаны для каждого свойства степеней. Разберемся с этим на примерах.

Начнем с такого примера: «Можно ли от степени ((−2)·(−3))⁴ по формуле (a·b)^r=a^r·b^r перейти к произведению степеней (−2)⁴·(−3)⁴»? Для начала отметим, что выражение ((−2)·(−3))⁴ имеет смысл. В этом случае показатель степени r равен 4, это натуральное число, а для натурального r свойство степеней (a·b)^r=a^r·b^r имеет место для любых действительных чисел a и b. Поэтому, выражение ((−2)·(−3))⁴ можно представить в виде (−2)⁴·(−3)⁴.

Будем развивать мысль дальше: а можно ли от степени ((−2)·(−3))⁻⁷ по все по той же формуле перейти к выражению (−2)⁻⁷·(−3)⁻⁷? Исходное выражение имеет смысл. Показатель степени r равен −7, это целое отрицательное число, для такого r равенство (a·b)^r=a^r·b^r имеет место при условии a≠0, b≠0. В нашем случае и a и b отличны от нуля (a=−2, b=−3). Таким образом, от выражения ((−2)·(−3))⁻⁷ можно перейти к (−2)⁻⁷·(−3)⁻⁷.

А можно ли степень ((−2)·(−3))^1,3 заменить произведением вида (−2)^1,3·(−3)^1,3? Выражение ((−2)·(−3))^1,3 имеет смысл. Показатель степени в данном случае не целый и при этом положительный. Для такого показателя свойство (a·b)^r=a^r·b^r имеет место для неотрицательных a и b. А у нас и a, и b – отрицательные. Поэтому, нельзя преобразовать степень ((−2)·(−3))^1,3 к виду (−2)^1,3·(−3)^1,3. Более того, выражение (−2)^1,3·(−3)^1,3 не имеет смысла.

Заметим, что целесообразно избавляться от отрицательных чисел в основании степеней, а дальше применять свойства степеней без опаски. Например, выражение из предыдущего абзаца ((−2)·(−3))^1,3 в силу правила умножения отрицательных чисел можно переписать как (2·3)^1,3 и уже дальше применять свойство степени произведения. Этот подход дает следующую цепочку преобразований: ((−2)·(−3))^1,3=(2·3)^1,3=2^1,3·3^1,3.

Избавлению от отрицательных чисел в основаниях степеней также способствуют два результата:

(−a)^2·z=a^2·z, где −a – любое отрицательное число (при этом a – положительное), z – любое целое отличное от нуля число,
и (−a)^2·z+1=−a^2·z+1, где −a – любое отрицательное число (при этом a – положительное), z – любое целое число.

Они довольно просто обосновываются: (−a)^2·z=(−1·a)^2·z=(−1)^2·z·a^2·z=1·a^2·z=a^2·z и (−a)^2·z+1=(−1·a)^2·z+1=(−1)^2·z+1·a^2·z+1=−1·a^2·z+1=−a^2·z+1. Приведем примеры их применения: (−3)²=3², (−2,31)⁻⁵=−(2,31)⁻⁵.

Для закрепления материала приведем еще пару примеров, построенных на контрасте.

Формула a^r·a^s=a^r+s с переставленными частями позволяет представить степень (−1,7)⁵ как (−1,7)²·(−1,7)³ (r и s — натуральные) или как (−1,7)⁻³·(−1,7)⁸ (r и s – одновременно не натуральные, но целые), а представление (−1,7)^1,5·(−1,7)^3,5 недопустимо (r и s – не целые).

Свойство (a^r)^s=a^r·s не позволяет осуществить переход от к (значения этих выражений равны e и −e соответственно), так как когда числа r или s положительные и хотя бы одно из них не целое, то требуется еще выполнение условия a≥0, а у нас a=−π<0. По этой же причине не стоит утверждать, что равенство напрямую следует из свойства (a^r)^s=a^r·s. Преобразование указанных выражений нужно вести следующим образом:

А что насчет преобразования выражений и ? Не нужно даже пытаться их преобразовать, ведь они изначально не имеют смысла.

К началу страницы

Преобразование выражений с переменными в основаниях степеней

Сразу о главном: наиболее часто причиной ошибок при преобразовании выражений с использованием свойств степеней выступает невнимание к условиям, которым должны удовлетворять основания степеней при данных значениях показателей. Другими словами, формулы, задающие свойства степеней, часто используются механически, что и влечет негативные последствия. Продемонстрируем это на примере.

Пусть дано выражение , которое так и хочется преобразовать на базе формулы (a^r)^s=a^r·s следующим образом: . Все на первый взгляд хорошо и красиво. Но давайте вычислим значение исходного выражения и значение выражения, полученного после преобразования, к примеру, при x=0. Подставив это значение в исходное выражение, имеем , а подстановка в выражение x−1, полученное после преобразования, дает 0−1=−1. Мы получили разные значения.

Давайте разбираться, из-за чего возникла такая проблема. В нашем примере мы имеем показатели r=2, s=1/2. При данных значениях показателей степеней формула (a^r)^s=a^r·s имеет место для a≥0. То есть, мы могли выполнять переход от выражения к выражению по указанной формуле лишь при выполнении условия x−1≥0. Выше мы это не учли, и считали, что такой переход возможен для любых значений переменной x из ОДЗ для исходного выражения (которая в данном случае является множеством всех действительных чисел R).

Как избежать подобных проблем при преобразовании выражений с использованием свойств степени? Постоянно проверять, удовлетворяют ли основания степеней условиям выбранного свойства для всех значений переменных из ОДЗ для исходного выражения.

Пример.

Упростите выражения: а) 3·(x+1)⁻⁸·(x+1)²−((x+1)⁻²)³, б) , в) .

Решение.

а) Область допустимых значений (ОДЗ) переменной x для заданного выражения определяется условием x+1≠0 (оно вытекает из наличия степеней (x+1)⁻⁸, (x+1)⁻²), значит, представляет собой множество (−∞ ,−1)∪(−1, +∞).

Во-первых, напрашивается преобразование произведения (x+1)⁻⁸·(x+1)² по формуле a^r·a^s=a^r+s. Давайте проверим, можем ли мы провести такое преобразование? Здесь r=−8, s=2 (целые, причем r – не натуральное), при таких значениях показателей указанная формула требует выполнения условия a≠0. То есть, мы можем провести такое преобразование, если x+1 не обращается в нуль на ОДЗ. Очевидно, это условие выполнено, поэтому мы можем проводить задуманное преобразование: (x+1)⁻⁸·(x+1)²=(x+1)⁻⁸⁺²=(x+1)⁻⁶.

Во-вторых, хочется преобразовать степень в степени ((x+1)⁻²)³ с использованием соответствующего свойства степеней по формуле (a^r)^s=a^r·s. Опять проверяем, имеем ли мы право провести такое преобразование. Здесь r=−2, s=3 (целые, причем r – не натуральное), при таких r и s указанная формула справедлива при условии a≠0. То есть, мы имеем право на проведение запланированного преобразования, если x+1≠0 на ОДЗ. Это условие выполнено, поэтому, действуем: ((x+1)⁻²)³=(x+1)^(−2)·3=(x+1)⁻⁶.

Подставив полученные результаты в исходное выражение, получаем 3·(x+1)⁻⁶−(x+1)⁻⁶. Еще выполним приведение подобных слагаемых: 3·(x+1)⁻⁶−(x+1)⁻⁶=2·(x+1)⁻⁶.

Понятно, что на практике решения так подробно не расписывают, и все приведенные выше рассуждения проводят в уме. А решение обычно записывают кратко:
3·(x+1)⁻⁸·(x+1)²−((x+1)⁻²)³=
3·(x+1)⁽⁻⁸⁾⁺²−(x+1)^(−2)·3=
=3·(x+1)⁻⁶−(x+1)⁻⁶=2·(x+1)⁻⁶.

б) Несложно заметить, что 5/6=1/3+1/2. А это наводит на мысль в числителе выражения степень представить в виде произведения , применив справа налево формулу a^r·a^s=a^r+s, что дальше позволит вынести за скобки общий множитель и сократить дробь:

Но допустимо ли было самое первое преобразование в этой цепочке ? Здесь r=1/3, s=1/2 (положительные не целые). Для данных показателей свойство степеней a^r·a^s=a^r+s имеет место при условии a≥0. То есть, прежде чем в выражении заменить на , нужно было убедиться, что для любого значения переменной x из ОДЗ для исходного выражения выполняется условие x≥0.

Так что начинать решение следовало с нахождения ОДЗ. Она определяется условиями

Теперь видно, что для любого значения переменной x из ОДЗ выполняется условие x≥0, и мы не зря представляли как и проделывали остальные преобразования.

Полученное выражение можно еще упростить. На ОДЗ переменных x и y степень можно представить как , а y – как , применив справа налево формулу (a^r)^s=a^r·s. После этого в числителе проглядывается формула сокращенного умножения разность квадратов и возможность дальнейшего сокращения дроби:

в) Упростить выражение позволяет свойство степени в степени:

Поясним, почему здесь мы имеем полное право на применение формулы (a^r)^s=a^r·s. Для r=8, s=1/8 требуется выполнение условия a≥0. То есть, для ее применения мы должны быть уверены, что для любого значения переменной x из ОДЗ выполняется условие . Это условие, очевидно, выполняется, так как значение квадратного корня неотрицательно, и тем более неотрицательно значение суммы квадратного корня и единицы.

Ответ:

а) 3·(x+1)⁻⁸·(x+1)²−((x+1)⁻²)³=2·(x+1)⁻⁶,
б) ,
в)

Во всех только что разобранных примерах ОДЗ переменных была такова, что на всей этой области выполнялись условия, позволяющие применять свойства степеней. А как же быть, когда для некоторых значений переменных условия выполняются, а для других – нет, как, например, в уже упомянутом нами случае ? Разберемся с этим.

Основной подход к преобразованию таких выражений базируется на разбиении ОДЗ на несколько областей и следующем вспомогательном результате: для любого действительного числа a справедливо равенство (или , или ), которое следует из определения модуля числа. Это позволяет выражение A представлять как

A для тех значений переменных из ОДЗ, при которых это выражение принимает положительные значения,
0 для тех значений переменных, при которых выражение A обращается в нуль,
−|A| для тех значений переменных из ОДЗ, при которых выражение A принимает отрицательные значения.

Покажем применение озвученных моментов на практике на примере преобразования выражения . ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−1)²≥0 и представляет собой множество всех действительных чисел. Для значений степеней r=2, s=1/2 мы можем применить свойство степени в степени, если будет выполнено условие x−1≥0, равносильное условию x≥1, имеем: . А для остальных x из ОДЗ, то есть, для x<1, сначала представляем x−1 как −|x−1|, что приводит к выражению . Дальше в силу свойства степени произведения имеем . А так как |x−1| на рассматриваемом промежутке (x<1) принимает положительные значения, то мы можем применить формулу степени в степени: . Наконец, раскрыв модуль, получаем −(x−1). Итак, . Полученный результат можно переписать в виде .

Для закрепления навыков проведения подобных преобразований разберем решение еще одного примера.

Пример.

Упростите выражение .

Решение.

Понятно, что здесь придется применять свойство степени в степени (a^r)^s=a^r·s. Для его применения при r=2 и s=−1/2 необходимо, чтобы основание степени было положительным. Очевидно, что для любого значения a значение выражения положительно, так как квадратный корень неотрицателен и к нему еще прибавляется положительное число. А вот про значения выражения этого не скажешь. Выясним, при каких a из ОДЗ для исходного выражения его значения положительны, а при каких — отрицательны.