Для начала разберем теорию, далее решим парочку примеров для закрепления материала по разложению дробно рациональной функции на сумму простейших дробей. Подробно остановимся на методе неопределенных коэффициентов и методе частных значений, а также на их комбинации.
Простейшие дроби часто называют элементарыми дробями.
где A, M, N, a, p, q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.
Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов.
Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?
Приведем математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.
К примеру, требуетя взять интеграл от дробно рациональной функции 
. После разложения подынтегральной функции на простейшие дроби, все сводится к достаточно простым интегралам
Но об интегралах в другом разделе.
Пример.
Разложить дробь 
на простейшие.
Решение.
Вообще отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят разложение правильной дробно рациональной функции.
Выполним деление столбиком (уголком):
Следовательно, исходная дробь примет вид:
Таким образом, на простейшие дроби будем раскладывать 
- Во-первых, раскладываем знаменатель на множители.Здесь все методы хороши – от вынесения за скобки, применения формул сокращенного умножения, до подбора корня и последующего деления столбиком (при знаменателе в виде многочлена с рациональными коэффициентами степени выше второй). Об этом подробнее в разделе теории – разложение многочлена на множители.
В нашем примере все просто – выносим х за скобки.
- Во-вторых, раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.Здесь стоит рассмотреть виды выражений, которые могут быть у Вас в знаменателе.
- Если в знаменателе что-то вроде этого
, количество линейных множителей роли не играет, (будь их 2 или 22), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого типа:
a, b, c и d — числа, A, B, C и D — неопределенные коэффициенты. - Если в знаменателе что-то вроде этого
количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей (хоть 221ая степень), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого и второго типов:
a, b, c — числа,
— неопределенные коэффициенты.Возьмите на заметку: какая степень – столько и слагаемых. - Если в знаменателе что-то вроде этого
количество квадратичных выражений роли не играет, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего типа:
p, q, r и s — числа, P, Q, R и S — неопределенные коэффициенты. - Если в знаменателе что-то вроде этого
количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего и четвертого типов:
p, q, r и s — числа,
— неопределенные коэффициенты.ОБЫЧНО ВСТРЕЧАЕТСЯ КОМБИНАЦИЯ ЭТИХ ВАРИАНТОВ (как правило, довольно простая). - Если собрать все в кучу
,то дробь представится в виде суммы простейших дробей всех четырех типов:
Хватит теории, на практике все равно понятнее.
Пришло время вернуться к примеру. Дробь раскладывается в сумму простейших дробей первого и третьего типов с неопределенными коэффициентами A, B и C.
- Если в знаменателе что-то вроде этого
- В-третьих, приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.
То есть, пришли к равенству:
При x отличных от нуля это равенство сводится к равенству двух многочленов
А два многочлена являются равными тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях совпадают.
- В-четвертых, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х.При этом получаем систему линейных алгебраических уравнений с неопределенными коэффициентами в качестве неизвестных:
- В-пятых, решаем полученную систему уравнений любым способом (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры), который нравится Вам, находим неопределенные коэффициенты.
- В-шестых, записываем ответ.
P.S.
Пожалуйста, не ленитесь, проверяйте ответ, приводя к общему знаменателю полученное разложение.
Метод неопределенных коэффициентов является универсальным способом при разложении дроби на простейшие.
Очень удобно использовать метод частных значений, если знаменатель представляет собой произведение линейных множителей, то есть имеет вид схожий с
Рассмотрим на примере, чтобы показать плюсы этого метода.
Пример.
Разложить дробь 
на простейшие.
Решение.
Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то производить деление нам не придется. Переходим к разложению знаменателя на множители.
Для начала выносим х за скобки.
Находим корни квадратного трехчлена 
(например, по теореме Виета):
Следовательно, квадратный трехчлен можно записать как 
То есть, знаменатель примет вид 
При данном знаменателе, исходная дробь раскладывается в сумму трех простейших дробей первого типа с неопределенными коэффициентами:
Полученную сумму приводим к общему знаменателю, но в числителе при этом скобки не раскрываем и не приводим подобные при А, В и С (на этом этапе как раз отличие от метода неопределенных коэффициентов):
Таким образом, пришли к равенству:
А теперь, для нахождения неопределенных коэффициентов, начинаем подставлять в полученное равенство «частные значения», при которых знаменатель обращается в ноль, то есть х=0, х=2 и х=3 для нашего примера.
При х=0 имеем:
При х=2 имеем:
При х=3 имеем:
Ответ:
Как видите, различие метода неопределенных коэффициентов и метода частных значений лишь в способе нахождения неизвестных. Эти методы можно совмещать для упрощения вычислений.
Рассмотрим пример.
Пример.
Разложить дробно рациональное выражение 
на простейшие дроби.
Решение.
Так как степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя и знаменатель уже разложен на множители, то исходное выражение представится в виде суммы простейших дробей следующего вида:
Приводим к общему знаменателю:
Приравниваем числители.
Очевидно, что нулями знаменателя являются значения х=1, х=-1 и х=3. Используем метод частных значений.
При х=1 имеем:
При х=-1 имеем:
При х=3 имеем:
Осталось найти неизвестные 
и 
Для этого подставляем найденные значения в равенство числителей:
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых при одинаковых степенях х приходим к равенству двух многочленов:
Приравниваем соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях, тем самым составляем систему уравнений для нахождения оставшихся неизвестных и . Получаем систему из пяти уравнений с двумя неизвестными:
Из первого уравнения сразу находим 
, из второго уравнения 
В итоге получаем разложение на простейшие дроби:
Примечание.
Если бы мы сразу решили применить метод неопределенных коэффициентов, то пришлось бы решать систему пяти линейных алгебраических уравнений с пятью неизвестными. Применение метода частных значений позволило легко отыскать значения трех неизвестных из пяти, что значительно упростило дальнейшее решение.