Тождественные преобразования выражений, их виды

Работу с числовыми, буквенными выражениями и выражениями с переменными невозможно представить без выполнения тождественных преобразований. Эти преобразования проводятся с целью привести исходное выражение к виду, наиболее удобному для решения конкретной задачи. Для достижения этой цели прибегают к различным тождественным преобразованиям, основные из которых мы затронем в этой статье.

Что такое тождественное преобразование выражения?

О тождественных преобразованиях начинают говорить на уроках алгебры в 7 классе сразу после того, как вводится понятие тождественно равных выражений. Через это понятие и дается определение тождественного преобразования выражения:

Часто в этом словосочетании слово «тождественное» опускается, и говорят просто «преобразование выражения», при этом подразумевают, что речь идет именно о тождественном преобразовании.

Приведем пару простых примеров для пояснения сформулированного определения. Например, выражение x+3−2 можно заменить тождественно равным ему выражением x+1, эта замена есть тождественное преобразование выражения x+3−2. Еще пример: замена выражения  выражением a/3 также является тождественным преобразованием. А вот переход от выражения x к выражению x² не является тождественным преобразованием, так как выражения x и x² не являются тождественно равными.

Пару слов стоит сказать о форме записи выражений при проведении тождественных преобразований. На практике исходное выражение и выражение, полученное после проведения тождественного преобразования, удобно записывать в виде равенства. Например, запись x+1+2=x+3 означает, что исходное выражение x+1+2 преобразовано к виду x+3. Если последовательно выполняются несколько тождественных преобразований, то это отображается цепочкой равенств. К примеру, запись x+1+2=x+3=3+x можно понимать как последовательное проведение двух преобразований: сначала выражение x+1+2 преобразовали к виду x+3, а его – к виду 3+x.

Тождественные преобразования и ОДЗ

В 8 классе начинается изучение выражений, которые имеют смысл не при любых значениях переменных. При проведении тождественных преобразований таких выражений нужно следить за областью допустимых значений (ОДЗ) переменных.

Некоторые тождественные преобразования не изменяют ОДЗ переменных. Например, переход от выражения a+(−b) к выражению a−b является тождественным преобразованием, причем ОДЗ переменных a и b при этом переходе не изменяется.

Другие тождественные преобразования сужают область допустимых значений, например, при переходе от выражения x к выражению x²/x ОДЗ переменной x сужается с множества всех действительных чисел до множества всех действительных чисел, из которого исключен нуль.

А иногда происходит и расширение ОДЗ, как при замене выражения x²/x тождественно равным ему выражением x. Здесь ОДЗ переменной x в выражении x²/x есть множество действительных чисел за исключением нуля, а в полученном после преобразования выражении x ОДЗ переменной x есть все множество действительных чисел.

Возникает логичный вопрос: «Влияет ли на решение задачи сужение или расширение ОДЗ при проведении тождественных преобразований»? Может повлиять и привести к неверному результату. Поэтому нужно быть внимательным к ОДЗ переменных при проведении тождественных преобразований выражений.

Основные тождественные преобразования

Теперь, когда из информации предыдущих пунктов мы четко понимаем, что такое тождественное преобразование выражения, можно начинать разбираться с вопросом, какие преобразования существуют и как они выполняются.

Существует ряд наиболее часто используемых тождественных преобразований, которые проводятся с выражениями различных видов. Их, с Вашего позволения, мы назовем основными.

Но прежде чем приступить к обзору основных тождественных преобразований, стоит сказать, что помимо основных существует еще ряд преобразований, относящихся к выражениям конкретного вида. Например, для дробей характерны такие преобразования, как сокращение и приведение к новому знаменателю. Преобразование выражений с корнями и степенями выполняются с использованием свойств степени и свойств корня. Преобразование логарифмических выражений проводится на базе свойств логарифмов, а преобразование тригонометрических выражений – с использованием тригонометрических формул. Все они заслуживают отдельного освещения, и с ними будем разбираться в отдельных статьях.

Итак, приступим к обзору основных тождественных преобразований.

Перестановка местами слагаемых, множителей

Начнем с тождественного преобразования, имеющего говорящее за себя название перестановка местами слагаемых. Справедливо правило: в любой сумме слагаемые можно переставлять местами.

Это правило вытекает из переместительного и сочетательного свойств сложения. Из этих свойств следует, что все выражения, полученные после перестановки местами слагаемых, тождественно равны исходному выражению. Поэтому, перестановка местами слагаемых в сумме является тождественным преобразованием.

Рассмотрим пример.

Возьмем сумму трех слагаемых вида 3+5+7. Можно поменять местами слагаемые 3 и 5, при этом выражение примет вид 5+3+7. Можно было в исходном выражении переставить первое слагаемое на место третьего, а третье – на место первого, в этом случае мы бы получили выражение 7+5+3. А можно исходное выражение путем перестановки слагаемых преобразовать к виду 7+3+5 (сначала меняем местами слагаемые 3 и 7, приходим к выражению 7+5+3, после чего в полученном выражении меняем местами 5 и 3).

Слагаемые в суммах могут быть представлены не только числами, но и выражениями. Их тоже можно переставлять местами. Например, сумму двух слагаемых вида 3+sinx можно путем перестановки слагаемых преобразовать к виду sinx+3. А в сумме трех слагаемых  и  вида  слагаемые можно переставить, например, так . В свою очередь можно переставить местами слагаемые в знаменателе дроби , при этом дробь примет вид . А выражение под знаком корня a²+2·a+5 тоже является суммой, в которой можно поменять местами слагаемые.

Аналогично перестановке местами слагаемых проводится следующее преобразование – перестановка местами множителей в произведениях.

Соответствующее правило звучит так: в произведении можно переставлять местами множители. Оно основано на переместительном и сочетательном свойствах умножения, из которых следует, что в результате перестановки местами множителей получается выражение, тождественно равное исходному выражению. Это и объясняет тот факт, что перестановка местами множителей представляет собой тождественное преобразование.

Приведем пару примеров.

Произведение 3·5·7 перестановкой множителей можно представить в одном из следующих видов: 5·3·7, 5·7·3, 7·3·5, 7·5·3, или 3·7·5. А перестановка множителей в произведении  даст .

Перестановка местами слагаемых и множителей бывает полезна, например, при вычислении значений выражений или упрощении их вида, она может также предшествовать группировке, о которой мы поговорим ниже.

Раскрытие скобок

Числовые выражения и выражения с переменными в своей записи могут содержать скобки. Эти выражения можно заменить тождественно равными выражениями, в которых будет меньшее количество скобок или их не будет вовсе. Такой преобразование выражения называют раскрытием скобок.

Для примера рассмотрим выражение со скобками вида 3+(x−1/x), после раскрытия скобок оно примет вид 3+x−1/x. Еще пример: выражение  можно преобразовать в тождественно равное выражение без скобок .

В статье раскрытие скобок подробно разобраны правила, по которым проводится это преобразование, а также показаны решения примеров с необходимыми пояснениями.

Группировка слагаемых, множителей

К суммам трех и большего количества слагаемых применимо тождественное преобразование, получившее название группировка слагаемых. Под группировкой слагаемых понимают объединение нескольких слагаемых в группу, путем их перестановки и заключения в скобки. То есть, при группировке слагаемые переставляются местами так, чтобы группируемые слагаемые оказались рядом, после чего они заключаются в скобки.

Для наглядности приведем пример. После группировки первого слагаемого с третьим, выражение 5+7+1 примет вид (5+1)+7.

Аналогично в произведениях трех, четырех и т.д. множителей может быть проведена группировка множителей. Например, в произведении 2·3·4·5 можно сгруппировать первый множитель с третьим, а второй – с четвертым, при этом придем к выражению (2·4)·(3·5). А если бы мы сгруппировали первый, второй и четвертый множители, то получили бы выражение (2·3·5)·4.

Группируемые слагаемые и множители могут быть не только числами, но и переменными, и целыми выражениями. Примеры группировок для этих случаев Вы можете посмотреть в статье группировка слагаемых и множителей. Там же приведены правила, по которым осуществляется это тождественное преобразование.

Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно

Знакомство с противоположными числами позволило нам вычитание из числа a числа b рассматривать как прибавление к числу a числа −b. То есть, справедливо равенство a−b=a+(−b). На базе этого равенства выполняется замена разностей суммами.

Итак, в любом выражении мы можем заменить разность суммой. Например, в числовом выражении 4+3−2 разность чисел 3−2 мы можем записать в виде суммы 3+(−2), в итоге исходное выражение примет вид 4+3+(−2). Еще пример: все разности в выражении 5+2·x−x²−3·x³−0,2 можно заменить суммами как 5+2·x+(−x²)+(−3·x³)+(−0,2).

Разобранное преобразование позволяет нам от любых разностей переходить к суммам. Заметим, что достаточно часто выражения, содержащие вычитание, называют суммами. К примеру, выражение 3−x−5 – это сумма трех слагаемых 3, −x и −5, так как оно может быть заменено тождественно равное ему суммой вида 3+(−x)+(−5).

Аналогично можно выполнить обратную замену суммы разностью. Это преобразование выполняется на базе равенства a+b=a−(−b). Например, сумму x²+x можно заменить разностью вида x²−(−x).

Введение понятия взаимно обратных чисел позволяет деление на некоторое число заменить умножением на число, обратное делителю. Этому преобразованию отвечает равенство a:b=a·(b⁻¹).

К слову, озвученный вид преобразования частного в произведение лежит в основе правила деления обыкновенных дробей. Например, частное 1/2:3/5 можно заменить произведением вида 1/2·5/3. Аналогично деление на некоторое выражение можно заменить умножением на обратное выражение. К примеру, в выражении 1+5:x:(x+3) деление на x можно заменить умножением на 1/x, а деление на x+3 – умножением на 1/(x+3), после такого преобразования оно примет вид .

Имеет место и обратная замена умножения делением, ей отвечает равенство a·b=a:(b⁻¹). Например, в выражении  умножение можно заменить делением как .

Выполнение действий с числами

Одно из самых главных тождественных преобразований выражения заключается в выполнении действий с числами. Понятно, что действия должны выполняться в соответствии с принятым порядком выполнения действий: сначала степени чисел, корни из чисел, логарифмы, тригонометрические и другие функции заменяются их значениями, далее выполняются действия в скобках, после чего – остальные действия, причем все действия выполняются слева направо и умножение с делением выполняются до сложения и вычитания. В результате выполнения действий числами исходное выражение преобразуется в тождественно равное ему выражение.

Рассмотрим несколько примеров преобразования выражений путем выполнения действий с числами.

Начнем с простого выражения вида 5+3·2−x. В этом выражении мы сначала выполняем умножение чисел 3 и 2, после этого оно примет вид 5+6−x. Теперь складываем числа 5 и 6, в результате имеем 11−x.

Теперь преобразуем выражение , выполнив все возможные действия с числами. В этом выражении есть степень 2³ и корень , вычисляем их значения в первую очередь: 2³=8 и . После подстановки этих значений исходное выражение преобразуется к виду . Теперь вычисляем разность в скобках: 8−1=7, после этого приходим к выражению . Еще мы можем выполнить умножение чисел 3 и 7, в итоге имеем . Итак, выполняя действия с числами, мы исходное выражение преобразовали к тождественно равному ему выражению вида .

Еще стоит добавить, что выполнению действий с числами могут предшествовать другие виды тождественных преобразований, например, группировка чисел или раскрытие скобок. Для примера рассмотрим выражение 3+2·(6:3)·x·(y³·4)−2+11. В нем мы можем сразу частное в скобках 6:3 заменить его значением 2, получаем 3+2·2·x·(y³·4)−2+11. Теперь можно раскрыть скобки: 3+2·2·x·(y³·4)−2+11=3+2·2·x·y³·4−2+11. А сейчас сгруппируем числовые множители в произведении, а также слагаемые, являющиеся числами: (3−2+11)+(2·2·4)·x·y³. Наконец, мы можем выполнить действия в скобках: (3−2+11)+(2·2·4)·x·y³=12+16·x·y³.

Выполнение всех действий в числовых выражениях позволяет найти значение выражения, а выполнение действий с числами в выражениях с переменными позволяет упростить выражение.

Вынесение за скобки общего множителя

Когда слагаемые в выражении имеют одинаковый множитель, то с таким выражением можно провести преобразование, которое называется вынесением за скобки общего множителя. При этом преобразовании исходное выражение представляется в виде произведения общего множителя и выражения в скобках, состоящего из исходных слагаемых без общего множителя.

Покажем простой пример. Числовое выражение 2·7+2·3 после вынесения общего множителя 2 за скобки принимает вид 2·(7+3).

Более полную информацию по этой теме смотрите в статье вынесение за скобки общего множителя, правило, примеры. Там подробно разобрано правило, по которому осуществляется это преобразование, а также примеры вынесения за скобки общего множителя в выражениях с переменными.

Приведение подобных слагаемых

Следующее тождественное преобразование относится к суммам, содержащим подобные слагаемые, то есть, одинаковые слагаемые или слагаемые, отличающиеся только числовым коэффициентом. Оно получило название приведение подобных слагаемых.

Суть приведения подобных слагаемых заключается в вынесении общей буквенной части подобных слагаемых за скобки, и в последующем вычислении суммы числовых коэффициентов в скобках. Например, на первом этапе приведения подобных слагаемых в выражении 1+4·x−2·x мы выносим буквенную часть x за скобки, при этом получаем выражение 1+x·(4−2), и после вычисления значения выражения в скобках приходим к сумме вида 1+x·2.

Это преобразование очень часто используется при упрощении выражений. Более полную и подробную информацию о нем смотрите в статье приведение подобных слагаемых, правило, примеры.

Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.

Например, в выражении 3+x число 3 можно заменить суммой 1+2, при этом получится выражение (1+2)+x, которое тождественно равно исходному выражению. Другой пример: в выражении 1+a⁵ степень a⁵ можно заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a·a⁴. Это нам даст выражение 1+a·a⁴.

Данное преобразование, несомненно, искусственно, и обычно является подготовкой к каким-либо дальнейшим преобразованиям. Например, в сумме 4·x³+2·x², учитывая свойства степени, слагаемое 4·x³ можно представить в виде произведения 2·x²·2·x. После такого преобразования исходное выражение примет вид 2·x²·2·x+2·x². Очевидно, слагаемые в полученной сумме имеют общий множитель 2·x², таким образом, мы можем выполнить следующее преобразование — вынесение за скобки. После него мы придем к выражению: 2·x²·(2·x+1).

Прибавление и вычитание одного и того же числа

Другим искусственным преобразованием выражения является прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения. Такое преобразование является тождественным, так как оно, по сути, эквивалентно прибавлению нуля, а прибавление нуля не меняет значения.

Рассмотрим пример. Возьмем выражение x²+2·x. Если к нему прибавить единицу и отнять единицу, то это позволит в дальнейшем выполнить еще одно тождественное преобразование — выделить квадрат двучлена: x²+2·x=x²+2·x+1−1=(x+1)²−1.