Переход от корней к степеням и обратно, примеры, решения

Преобразование выражений с корнями и степенями часто требует выполнения переходов от корней к степеням и обратно. В этой статье мы разберем, как такие переходы осуществляются, что лежит в их основе, и в каких моментах чаще всего возникают ошибки. Все это снабдим характерными примерами с детальным разбором решений.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Возможность перехода от степени с дробным показателем к корню диктуется самим определением степени. Напомним, как определяется степень числа с дробным показателем: степенью положительного числа a с дробным показателем m/n, где m – целое, а n – натуральное число, называют корень n-ой степени из a^m, то есть, , где a>0, m∈Z, n∈N. Аналогично определяется и дробная степень нуля , с той лишь разницей, что в этом случае m уже считается не целым, а натуральным, чтобы не возникало деления на нуль.

Таким образом, степень  всегда можно заменить на корень . Например, от  можно перейти к , а степень  можно заменить корнем . А вот переходить от выражения  к корню  не следует, так как степень  изначально не имеет смысла (степень отрицательных чисел не определена), несмотря на то, что корень  имеет смысл.

Как видите, в переходе от степеней чисел к корням нет абсолютно ничего мудреного. Аналогично осуществляется переход к корням от степеней с дробными показателями, в основании которых находятся произвольные выражения. Заметим, что указанный переход осуществляется на ОДЗ переменных для исходного выражения. К примеру, выражение  на всей ОДЗ переменной x для этого выражения можно заменить корнем . А от степени  перейти к корню , такая замена имеет место для любого набора переменных x, y и z из ОДЗ для исходного выражения.

Замена корней степенями

Возможна и обратная замена, то есть, замена корней  на степени с дробными показателями . В ее основе также лежит равенство , которое в данном случае используется справа налево, то есть, в виде .

Для положительных a указанный переход очевиден. Например,  можно заменить степенью , а от корня  перейти к степени с дробным показателем вида .

А при отрицательных a равенство  не имеет смысла, но корень  при этом может иметь смысл. Например, корни  и  имеют смысл, но заменить их степенями  и  нельзя. Так можно ли их вообще преобразовать в выражения со степенями? Можно, если провести предварительные преобразования, заключающиеся в переходе к корням с неотрицательными числами под ними, которые потом и заменить степенями с дробными показателями. Покажем, в чем заключаются эти предварительные преобразования и как их провести.

В случае с корнем  свойства степеней позволяют выполнить такие преобразования: . А так как 4 – положительное число, то последний корень можно заменить степенью . А во втором случае определение корня нечетной степени из отрицательного числа −a (при этом a – положительное), выражающееся равенством , позволяет корень  заменить выражением , в котором кубический корень из двух уже можно заменить степенью, и оно примет вид .

Осталось разобрать, как заменяются корни, под которыми находятся выражения, на степени, содержащие эти выражения в основании. Здесь не стоит спешить с заменой  на , буквой A мы обозначили некоторое выражение. Приведем пример, поясняющий, что под этим имеется в виду. Корень  так и хочется заменить степенью , основываясь на равенстве . Но такая замена уместна лишь при условии x−3≥0, а для остальных значений переменной x из ОДЗ (удовлетворяющих условию x−3<0) она не подходит, так как формула  не имеет смысла для отрицательных a. Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения  к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Из-за такого неаккуратного применения формулы  нередко возникают ошибки при переходе от корней к степеням. Например, в учебнике [1, с. 221] дано задание, представить выражение  в виде степени с рациональным показателем, и приведен ответ , который вызывает вопросы, так как в условии не задано ограничение b>0. А в учебнике [2, с. 76] присутствует переход от выражения , скорее всего через следующие преобразования иррационального выражения

к выражению . Последний переход также вызывает вопросы, так как сужает ОДЗ.

Возникает закономерный вопрос: «Как же правильно перейти от корня  к степени для всех значений переменных из ОДЗ»? Такая замена проводится на базе следующих утверждений:

• Если m – целое и нечетное, а n – натуральное и четное число, то на всей ОДЗ переменных для выражения  его можно заменить на .
• Если m – целое и нечетное, n – натуральное и нечетное, то выражение  можно заменить
  • на  для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значения выражения A неотрицательны,
  • и на  для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значения выражения A отрицательны.
• Если m – целое и четное, а n – любое натуральное число, то на ОДЗ переменных для выражения  можно заменить на .

Прежде чем обосновать записанные результаты, приведем несколько примеров их использования для перехода от корней к степеням. Для начала вернемся к выражению . Его надо было заменять не на , а на  (в данном случае m=2 – целое четное, n=3 – натуральное). Другой пример: .

Теперь обещанное обоснование результатов.

Когда m – целое нечетное, а n – натуральное четное, то для любого набора переменных из ОДЗ для выражения  значение выражения A положительно (если m<0) или неотрицательно (если m>0). Поэтому, .

Переходим ко второму результату. Пусть m – целое положительное нечетное, а n – натуральное нечетное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A неотрицательно, , а для которых отрицательно,

Аналогично доказывается следующий результат для целых отрицательных и нечетных m и натуральных нечетных n. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A положительно, , а для которых отрицательно,

Наконец, последний результат. Пусть m – целое четное, n – любое натуральное. Для всех значений переменных из ОДЗ, для которых значение выражения A положительно (если m<0) или неотрицательно (если m>0), . А для которых отрицательно, . Таким образом, если m – целое четное, n – любое натуральное, то для любого набора значений переменных из ОДЗ для выражения  его можно заменить на .