Пример
Оцените значения выражения 
.
Решение
Одна из оценок очевидна: 
. Действительно, так как 
(см. оценки значений основных элементарных функций), то 
и 
(при необходимости смотрите оценка значений функции y=f(g(x)) через область значений функции y=f(x)), а метод получения оценок с использованием свойств числовых неравенств позволяет сложить две последних оценки, что дает оценку 
и дальше .
Но давайте попробуем получить более точную оценку. Для этого нам придется провести исследование функции 
.
Сначала находим область определения функции:
Так как область определения функции есть числовой отрезок, то наша задача, заключающаяся в получении оценки значений выражения , сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [−7, 11].
Находим производную:
Производная равна нулю, когда 
. Это иррациональное уравнение имеет единственное решение x=2 (при необходимости смотрите решение иррациональных уравнений). Так как x=2 принадлежит отрезку [−7, 11], то это точка экстремума функции.
Теперь мы можем найти наибольшее и наименьшее значения функции . Для этого нужно вычислить ее значения на концах отрезка [−7, 11], то есть, в точках x=−7 и x=11, а также в точке экстремума x=2. Имеем
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [−7, 11] есть число 
, а наибольшее — число 6.
Полученные результаты позволяют записать нужную нам оценку: 
.
Ответ:
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
