а) Отталкиваться будем от знакомой нам оценки 
(при необходимости повторите оценки значений основных элементарных функций). Метод получения оценок с использованием свойств числовых неравенств позволяет нам из обеих частей оценки вычесть число 3:
Так как функция 
— монотонная на всей своей области определения, которой является множество всех действительных чисел, а именно, возрастающая (при надобности повторите материал основные элементарные функции, их свойства и графики), и число −3 входит в ее область определения, то дальше мы можем действовать по методу получения оценок на основании монотонности:
б) Мы знаем, что 
. Основываясь на этой оценке и методе оценивания значений функции y=f(g(x)) через оценку значений функции y=f(x), мы можем сразу записать, что 
. Но в данном случае мы имеем возможность получить более точную оценку. Воспользуемся этой возможностью.
Нам известна оценка значений синуса: −1≤sinx≤1. Прибавим ко всем частям этой оценки число 3, имеем
Так как функция 
— монотонная, а именно, убывающая на всей своей области определения, которой является множество R, и числа 2 и 4 входят в ее область определения, то дальше мы имеем право воспользоваться методом получения оценок на основании монотонности:
Или в более привычной записи 
.
в) Осталось оценить значения выражения 
. Здесь мы можем сразу сказать, что 
. Но не помешает посмотреть, нет ли более точной оценки.
Выполняя привычные действия с оценками, получаем оценку значений подкоренного выражения:
Мы знаем, что функция 
возрастает на всей своей области определения, которой является множество [0, +∞). Из чисел −2 и 4, фигурирующих в полученной оценке −2≤3·cosx+1≤4, в область определения функции входит число 4, но не входит −2. То есть, здесь мы не имеем возможности действовать также, как в предыдущем примере. Что же делать? В подобных случаях стоить посмотреть на оценку −2≤3·cosx+1≤4 как на пересечение двух оценок 3·cosx+1≥−2 и 3·cosx+1≤4. И вот для чего.
Множество [−2, +∞), соответствующее оценке 3·cosx+1≥−2, полностью содержит область определения функции . Из этого следует, что в качестве оценки значений выражения стоит указать область значений функции или любое другое более широкое множество (об этом мы говорили в разделе теории «учет ОДЗ при получении оценок»). Мы знаем, что область значений функции есть множество [0, +∞), значит, .
С другой стороны, оценка 3·cosx+1≤4 и возрастание функции позволяет утверждать, что 
, что то же самое, 
.
В результате имеем и . Запишем эти результаты в виде двойного неравенства 
, это и есть нужная нам оценка.
, б)
, в)
