Как оценить значения выражения

Пример

Оцените значения выражения: а) (2^x+3)⁴, б) arcsin³x, в) .

Решение

а) Известные оценки значений основных элементарных функций позволяют нам начать с результата 2^x>0. Дальше прибегаем к методу получения оценок с использованием свойств числовых неравенств. Прибавим к обеим частям неравенства 2^x>0 число 3, имеем 2^x+3>3. В полученной оценке справа находится положительное число 3, также из этой оценки видно, что выражение 2^x+3 принимает только положительные значения. Все это позволяет возвести обе части неравенства 2^x+3>3 в четвертую степень. Это действие дает интересующую нас оценку:
(2^x+3)⁴>3⁴
(2^x+3)⁴>81.

б) Нам известна оценка значений арксинуса: . Очевидно, арксинус принимает как положительные, так и отрицательные значения. Но это не мешает проводить возведение в нечетную степень всех частей неравенства (это возведение в четную степень требует, чтобы выражение принимало только положительные значения, и было оценено через положительные числа). Итак, возводим все части двойного неравенства  в куб:

в) На базе известной оценки синуса −1≤sinx≤1, получим оценку значений выражения :

Но нас интересует оценка значений выражения . То есть, полученную оценку  нам как бы надо возвести в квадрат. Однако, возведение оценки в четную степень требует выполнения определенных условий, в частности, выражение  должно для этого принимать только положительные значения. А нам оценка  показывает, что выражение  принимает как положительные, так и отрицательные значения. Как же быть? Рассмотреть оценку  как объединение трех ситуаций: ,  и .

В первой ситуации оценка  позволяет получить интересующую нас оценку значений выражения  следующим образом:

Теперь можно возвести в квадрат все части неравенства, так как все условия для этого выполняются:

Во второй ситуации, очевидно,

Наконец, в третьей ситуации имеем

Объединяя результаты ,  и , получаем интересующую нас оценку: .

Ответ:

а) (2^x+3)⁴>81

б)

в)