Вот мы и подошли к заключительному этапу изучения действий с одночленами. Со сложением и вычитанием одночленов, а также с их умножением и возведением в степень мы уже познакомились. Осталось лишь рассмотреть деление одночлена на одночлен.
Начнем мы с рассуждений на тему, всегда ли возможно выполнить деление одночленов. После этого перейдем к правилу, по которому выполняется деление одночленов. И наконец, рассмотрим примеры применения этого правила при решении примеров.
Когда можно разделить одночлен на одночлен?
Вообще, было бы логично деление одночленов рассматривать при изучении принципов работы с рациональными (алгебраическими) дробями. Это связано с тем, что в общем случае результатом деления одночлена на одночлен является рациональная дробь, и лишь в частных случаях – одночлен.
Другими словами, разделить одночлен на одночлен не всегда возможно в том смысле, чтобы в частном получился одночлен.
Перечислим условия, которым должен удовлетворять одночлен, который делят, и одночлен, на который делят, чтобы результат их деления был одночленом. Будем считать, что исходные одночлены записаны в стандартном виде.
Во-первых, любой одночлен можно разделить на одночлен, тождественно равный отличному от нуля числу, и в частном получится одночлен. Например, если разделить одночлен 3·x2·y на 1, то получится одночлен 3·x2·y, а если его разделить на , то получится одночлен .
Во-вторых, одночлен, который делят, должен в своей записи иметь множители со всеми переменными, присутствующими в записи одночлена, на который делят, причем показатели степеней этих переменных должны быть не меньше, чем показатели степеней соответствующих переменных в одночлене-делителе. Например, можно разделить −2·x3·y·z5 на 4·y·z3, так как одночлен −2·x3·y·z5 содержит в своей записи множители и с переменной y, и с переменной z, причем их степени 1 и 5 не меньше, чем степени 1 и 3 соответствующих переменных в одночлене 4·y·z3.
Заметим, что первое из озвученных условий можно было не записывать отдельно, так как оно покрывается вторым условием. Его мы записали лишь с одной целью — не забыть, что возможно деление на одночлены-числа.
В остальных случаях деление одночлена на одночлен либо дает в результате рациональную дробь, либо его вообще нельзя выполнить, когда имеет место деление на одночлен, тождественно равный нулю.
Правило деления одночлена на одночлен
При этом следует придерживаться следующего правила:
- Если одночлены заданы не в стандартном виде, то они сначала приводятся к стандартному виду.
- Дальше составляется частное, для чего одночлены заключаются в скобки и между ними ставится знак деления.
- После этого группируются числа и одинаковые переменные.
- Наконец, выполняется деление чисел и используется свойство деления степеней с одинаковыми основаниями.
В результате выполнения всех шагов озвученного правила деления одночлена на одночлен, будет получено частное – новый одночлен.
Если же к вопросу деления одночленов подходить после знакомства с рациональными дробями, то достаточно записать отношение одночленов в виде рациональной дроби, после чего сократить рациональную дробь, если это возможно. В результате будет получено частное – рациональная дробь, которая в некоторых случаях сократится до одночлена (когда исходные одночлены удовлетворяют перечисленным в предыдущем пункте условиям).
Примеры
Осталось разобраться с делением одночленов на практике. Рассмотрим примеры деления одночлена на одночлен с использованием правила из предыдущего пункта.
Пример.
Выполните деление одночленов 16·a·b7 и −4·b3.
Решение.
Несложно убедиться, что в результате деления данных одночленов должен получиться одночлен. Действительно, одночлен 16·a·b7 содержит переменную b, причем степень этой переменной равна 7, что больше степени переменной b в одночлене −4·b3, на который предстоит выполнить деление.
Теперь пройдем все шаги правила деления одночленов.
Исходные одночлены уже записаны в стандартном виде, так что первый шаг уже выполнен.
На втором шаге записываем частное: (16·a·b7):(−4·b3).
Дальше, используя свойства деления и умножения, сгруппируем числа и множители с одинаковыми переменными: (16·a·b7):(−4·b3)=
Осталось выполнить деление чисел и воспользоваться свойством деления чисел с одинаковыми основаниями, имеем (16:(−4))·a·(b7:b3)=
Запишем все решение примера кратко:
(16·a·b7):(−4·b3)=
Заметим, что удобнее и нагляднее вместо знака деления использовать черту дроби, при этом решение запишется так: .
Ответ:
.
Разберем решение еще одного примера, для закрепления навыков деления одночленов.
Пример.
Выполните деление (0,4·x·y3·x2·0,8·z5·x):(x·0,12·x).
Решение.
Очевидно, делящиеся одночлены записаны не в стандартном виде. Поэтому сначала приведем одночлены к стандартному виду: 0,4·x·y3·x2·0,8·z5·x=
А дальше действуем как в предыдущем примере: , проводим деление десятичных дробей и , следовательно, .
Ответ:
.
Пример.
Разделите одночлен −3·x·y на одночлен 2·x5·z.
Решение.
Результатом деления данных одночленов будет не одночлен, а рациональная дробь. Это следует из того, что эти одночлены не удовлетворяют условиям, указанным в первом пункте этой статьи. Действительно, одночлен −3·x·y не содержит в своей записи переменной z, более того, степень переменной x меньше соответствующей степени переменной x в одночлене 2·x5·z.
Таким образом, нам лишь нужно записать отношение исходных одночленов в виде рациональной дроби и сократить ее: .
Ответ:
.
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 17-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 240 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019315-3.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 17-е изд., доп. — М.: Мнемозина, 2013. — 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.