Основное свойство алгебраической дроби: формулировка, доказательство, примеры применения

Раньше, изучая тему обыкновенные дроби, мы уже встречались с основным свойством дроби. Но в то время мы его сформулировали в «упрощенной» форме, удобной и достаточной для работы с обыкновенными дробями. В этой статье мы взглянем на основное свойство дроби применительно к алгебраическим дробям (то есть, к дробям, числителем и знаменателем которых являются многочлены, в некоторых учебниках алгебры такие дроби называют не алгебраическими, а рациональными дробями). Сначала сформулируем основное свойство алгебраической дроби, обоснуем его, а после этого перечислим основные области его применения.

Формулировка и обоснование

Для начала напомним, как было сформулировано основное свойство дроби для обыкновенных дробей: если одновременно числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на некоторое натуральное число, то значение дроби не изменится. Этому утверждению отвечают равенства  и  (которые справедливы и с переставленными частями в виде  и ), где a, b и m – некоторые натуральные числа.

Фактически про деление числителя и знаменателя на число можно не говорить – этот случай покрывается равенством вида . Например, равенство  можно обосновать через деление с использованием равенства  как , но его же можно обосновать и на основании равенства  как . Поэтому дальше мы будем ассоциировать основное свойство дроби с равенством  (и ), и не будем останавливаться на равенстве  (и ).

Теперь покажем, что основное свойство дроби распространяется и на дроби, числителем и знаменателем которых являются действительные числа. Для этого докажем, что записанное равенство справедливо не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел. Иными словами, докажем, что равенство  справедливо для любых действительных чисел a, b и m, причем b и m – отличны от нуля (иначе мы столкнемся с делением на нуль).

Пусть дробь a/b является записью числа z, то есть, . Докажем, что дробь  также отвечает числу z, то есть, докажем, что . Это будет доказывать равенство .

Мы знаем, что черта дроби означает знак деления, тогда, учитывая связь между умножением и делением, из равенства  вытекает равенство a=b·z. Свойства числовых равенств позволяют нам умножить обе части равенства на отличное от нуля число, выполним умножение на число m, имеем a·m=(b·z)·m. А свойства умножения позволяют полученное равенство переписать в виде a·m=(b·m)·z. Откуда по определению частного можно утверждать, что . На этом доказательство равенства  для действительных чисел завершено.

Равенство  (и ) сохраняет силу и в том случае, если под буквами a, b и m понимать любые многочлены, учитывая, что b и m – ненулевые многочлены (тождественно не равные нулю). Оно и выражает основное свойство алгебраической дроби:
если одновременно числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить на произвольный ненулевой многочлен, то получиться дробь, тождественно равная исходной.

Справедливость основного свойства алгебраической дроби вытекает из того, что действия с многочленами вводились в полном согласии с соответствующими действиями с числами.

Приведем примеры. Алгебраическую дробь  в силу основного свойства дроби можно преобразовать к виду , здесь числитель и знаменатель умножены на многочлен x²+2·x·y. Аналогично, основное свойство алгебраической дроби позволяет в числителе и знаменателе дроби  избавиться от множителя x², и перейти от исходной дроби к .

В заключение этого пункта хочется отметить, что основное свойство дроби, выражаемое равенством  (и ), справедливо и тогда, когда a, b и m – не только многочлены, но и вообще числовые, буквенные выражения и выражения с переменными любого вида, причем b и m – ненулевые.

Сферы применения основного свойства алгебраической дроби

Пришло время разобраться с практическим применением основного свойства алгебраической дроби. Оно применяется, в основном, для проведения двух следующих преобразований алгебраических дробей – приведения к новому знаменателю и сокращения алгебраических дробей. Обговорим, в чем они заключаются.

Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю подразумевает умножение числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой многочлен, в частном случае одночлен или число. В результате получается новая дробь, которая в силу основного свойства алгебраической дроби равна исходной. Например, алгебраическая дробь  после умножения числителя и знаменателя на многочлен x²+1 будет приведена к новому знаменателю (x+1)·(x²+1), и примет вид . В полученном выражении можно выполнить действия с многочленами, и оно преобразуется в алгебраическую дробь .

Наиболее часто приведение к новому знаменателю приходится выполнять при сложении и вычитании алгебраических дробей.

Стоит отметить, что если алгебраическая дробь имеет дробные коэффициенты, то умножение ее числителя и знаменателя не некоторое число позволяет перейти к целым коэффициентам, и тем самым упростить ее вид. К примеру, . А на умножении числителя и знаменателя на минус единицу основаны правила изменения знаков у членов алгебраической дроби.

Вторая важнейшая сфера применения основного свойства дроби – это сокращение алгебраических дробей. Сокращение в общем случае проводится в два этапа: сначала числитель и знаменатель раскладываются на множители, что позволяет отыскать общий множитель m, а дальше на базе равенства  осуществляется переход к дроби вида a/b без этого общего множителя. Например, алгебраическая дробь  после разложения числителя и знаменателя на множители принимает вид , откуда виден общий множитель 4·x²−y, на который основное свойство дроби позволяет провести сокращение: .