Решение иррациональных уравнений методом освобождения от внешней функции

Продолжаем изучение методов решения иррациональных уравнений. В этой статье мы рассмотрим метод, позволяющий при определенных условиях переходить от решения иррационального уравнения, имеющего структуру h(f(x))=h(g(x)), к решению уравнения f(x)=g(x). Сначала приведем описание метода, после чего разберем решения характерных примеров.

Переходить от решения уравнения h(f(x))=h(g(x)) к решению уравнения f(x)=g(x) можно при выполнении двух следующих условий:

• переход осуществляется на ОДЗ для исходного уравнения h(f(x))=h(g(x)),
• функция h на ОДЗ для исходного уравнения принимает каждое свое значение по одному разу (в частности, является возрастающей или убывающей).

То есть, метод решения уравнений h(f(x))=h(g(x)) при условии, что функция h принимает каждое свое значение по одному разу, состоит в переходе к решению уравнения f(x)=g(x) на ОДЗ для исходного уравнения.

Подробное обоснование сказанного приведено в статье «Решение уравнений методом освобождения от внешней функции».

Методом освобождения от внешней функции можно решать иррациональные уравнения . Действительно, внешняя функция  является возрастающей, значит, принимает каждое свое значение по одному разу, поэтому, от нее можно освободиться, и перейти к решению уравнения f(x)=g(x). При этом нужно не забывать оставаться в рамках ОДЗ для исходного уравнения . Здесь стоит иметь в виду, что при освобождении от корней нечетной степени  не происходит изменения ОДЗ, и уравнения  и f(x)=g(x) являются равносильными. А при освобождении от корня четной степени  ОДЗ может расшириться. Поэтому, при освобождении от корней четной степени следует позаботиться об отсеивании посторонних корней.

Заметим, что иррациональные уравнения из предыдущего примера можно решать не методом освобождения от внешней функции, а более привычным методом решения иррациональных уравнений — методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но встречаются иррациональные уравнения, для решения которых сложно предложить метод решения, отличный от метода возведения обеих частей в одну и ту же степень. Обычно, основная сложность решения таких уравнений заключается в том, чтобы разглядеть структуру уравнения h(f(x))=h(g(x)). Давайте рассмотрим решение характерного примера.