Уединение радикала (корня)

Эта статья про уединение радикала или, как его еще называют, уединение корня. Здесь мы разъясним, что понимают под уединением радикала, что понимают под уединением произведения и дроби с радикалом, приведем примеры и укажем основную сферу применения.

Словосочетания «уединение радикала» и «уединение корня» фигурируют в школьных учебниках по алгебре, например, [1, c. 194-195; 2, с. 240]. Но там сильно не разъясняется, что понимается под уединением радикала. Однако, приведенной в учебниках информации достаточно для формирования представления о предмете нашего разговора. Для себя можно принять следующее:

Обычно уединения радикала добиваются последовательным выполнением некоторых основных преобразований уравнения, например, переносом слагаемых из одной части уравнения в другую.

Приведем пару примеров уединения радикала (корня).

Если из левой части уравнения  перенести все слагаемые, кроме корня, в правую часть, естественно, изменив их знаки на противоположные, то мы получим уравнение с уединенным радикалом: .

Рассмотрим еще одно уравнение . В его записи три корня, каждый из которых можно уединить. Уединим первый радикал. Для этого оставляем его в левой части, а два других корня переносим в правую часть с противоположными знаками: . Аналогично можно было уединить второй радикал, вместо первого: для этого нужно было оставить в левой части только нужный нам радикал вместе с его знаком , а дальше избавиться от минуса перед ним, выполнив умножение обеих частей уравнения на минус единицу, что дало бы уравнение . А можно было провести уединение третьего радикала. Для этого нужно было оставить слева третий корень и отправить два оставшихся корня в правую часть: .

На практике бывает полезно уединять не корень, а произведение, одним или несколькими множителями которого являются корни, или дробь, в числителе и/или знаменателе которой присутствуют корни. То есть, можно говорить не только об уединении радикала, но и об уединении произведения радикалов, в том числе и с числовым коэффициентом, про уединение дроби с корнем в числителе и/или знаменателе и т.п.

Обычно уединение перечисленных математических объектов достигается переносом слагаемых в другую часть уравнения. Приведем несколько примеров.

Вот пример уединения произведения корней с числовым коэффициентом: от уравнения  переходим к уравнению . А в уравнении  можно уединить дробь с корнем и перейти к уравнению .

Осталось разобраться с главным: понять, для чего нужно уединение радикала, уединение произведений и дробей с радикалами. В основном уединение радикала используется при решении иррациональных уравнений. Оно позволяет подготовить уравнение к дальнейшему возведению его обеих частей в одну и ту же натуральную степень, что в дальнейшем позволяет избавиться от знаков корней и тем самым перейти к решению сравнительно простого уравнения. В этом и состоит суть уединения радикала.

Для иллюстрации возьмем иррациональное уравнение . Если не уединять радикал, а сразу возвести обе его части в квадрат, то это не приведет к избавлению от корня: , . А если сначала провести уединение радикала, осуществив перенос минус единицы в правую часть с противоположным знаком, а уже потом возводить обе части в квадрат, то это позволит избавиться от корня: , , x=1.

Литература