Пример
Решите уравнение
Решение
Решим иррациональное уравнение методом возведения обеих частей уравнения в квадрат:
Известно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат может приводить к появлению посторонних корней. Второе преобразование записанной выше цепочки преобразований также может дать посторонние корни, так как в результате его проведения расширяется ОДЗ с множества [−1, +∞) до множества R. Значит, нам обязательно нужно позаботиться об отсеивании посторонних корней.
Итак, нам нужно провести отсеивание посторонних корней. Проверки по ОДЗ в нашем случае будет мало, так как посторонние корни могли появиться не только из-за расширения ОДЗ, но и из-за возведения обеих частей уравнения в квадрат. Значит, нужно прибегать к проверке подстановкой. Но очевидно, что проверка подстановкой заставит нас помучиться с преобразованиями. Действительно, подстановка
в исходное уравнение дает равенство
, и чтобы выяснить, верное оно или нет, придется потрудиться с преобразованиями. Похожие проблемы возникнут и при подстановке второго корня. Покажем альтернативный подход.
Когда возводятся в четную степень обе части уравнения, имеющего вид
, где 2·k – четное число, то отсеивание посторонних корней можно проводить по условию g(x)≥0. Такой подход вытекает из определения корня: корень четной степени 2·k есть неотрицательное число, 2·k-ая степень которого равна подкоренному числу. Откуда
.
Вид нашего уравнения
как раз соответствует
. Подставляем по очереди в это неравенство найденные корни
, и смотрим, верные или неверные числовые неравенства будут получаться:
Следовательно,
Ответ:
.