Решение иррациональных уравнений через определение корня — 68

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Решение

Здесь решение иррационального уравнения естественно построить через возведение обеих частей уравнения в квадрат:

Теперь обязательно нужно проверить, нет ли посторонних корней среди найденных. Откуда они могли взяться? Из-за первого преобразования – возведения обеих частей уравнения в квадрат, и из-за второго преобразования – из-за перехода от уравнения  к уравнению 3·x+1=x²−6·x+9, расширяющего ОДЗ.

Так как среди причин возможного появления посторонних корней есть возведение обеих частей уравнения в четную степень, то отсеивание по ОДЗ или по условиям ОДЗ не гарантирует избавление от всех посторонних корней. Значит, нужно проводить проверку подстановкой. Подставим по очереди найденные корни x₁=1 и x₂=8 в исходное уравнение :

Так как подстановка числа 1 привела к неверному числовому равенству, то 1 – это посторонний корень иррационального уравнения . Подстановка восьмерки дает верное числовое равенство, следовательно, 8 – это корень уравнения .

Ответ:

8.