Пример
Решите иррациональное уравнение
Решение
Очевидно, решение нужно начинать с преобразования уравнения, а именно с замены выражения в правой части тождественно равным ему выражением, которым в нашем случае является нуль. То есть, с перехода к уравнению (x+1)·(x-2)=0. Посмотрим, что при этом происходит с ОДЗ.
Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения определяется условиями
. Решить эту систему, чтобы получить ОДЗ в виде числового множества, довольно сложно из-за первого иррационального неравенства. Проводить это решение в нашем случае и не обязательно, так как очевидно, что ОДЗ для уравнения, полученного в результате преобразования, не уже, чем ОДЗ для исходного уравнения, а может быть и шире, ведь очевидно, что ОДЗ для полученного уравнения есть множество всех действительных чисел. Таким образом, мы не можем быть уверены в равносильности перехода от уравнения
к уравнению (x+1)·(x-2)=0, так как вполне может быть, что при таком переходе расширяется ОДЗ, что может быть причиной появления посторонних корней. Значит, нам придется позаботиться об определении и отсеивании посторонних корней.
Уравнение (x+1)·(x-2)=0 равносильно совокупности двух уравнений x+1=0 и x-2=0 (при необходимости смотрите статью решение уравнений методом разложения на множители), откуда видны два его корня x1=-1 и x2=2.
Остается выяснить, нет ли среди найденных корней посторонних, и если они есть, то провести их отсеивание. Вспоминаем, что причиной возможного появления посторонних корней в нашем случае выступает лишь возможное расширение ОДЗ. Значит, проверку можно провести по ОДЗ, по условиям ОДЗ или путем подстановки в исходное уравнение. В нашем случае не целесообразно проводить проверку по ОДЗ, так как мы ее не стали находить в виде числового множителя из-за сложности этого мероприятия. А вот осуществить отсев посторонних корней по условиям ОДЗ вполне удобно, тем более, что мы их уже записали
Таким образом, x1=-1 – посторонний корень для исходного уравнения, а x2=2 – корень.
Заметим, что обнаружение и отсеивание посторонних корней можно было провести и через подстановку в исходное уравнение.
Ответ:
2.