Решение иррациональных уравнений через определение корня

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Решение

Понятно, что начинать следует с преобразования уравнения. В нашем случае напрашивается замена выражения  тождественно равным ему выражением x+1. Такое преобразование уравнения приведет нас к уравнению x²+2·x−5−(x+1)=0. Заметим, что это преобразование уравнения может привести к появлению посторонних корней, так как при переходе от исходного иррационального уравнения  к уравнению x²+2·x−5−(x+1)=0 происходит расширение ОДЗ. Действительно, область допустимых значений для исходного уравнения определяется условием x+1≥0, которому соответствует множество [−1, +∞), а ОДЗ для полученного уравнения, очевидно, есть множество всех действительных чисел R. Значит, при переходе от уравнения  к уравнению x²+2·x−5−(x+1)=0 могут появиться посторонние корни по причине расширения ОДЗ. Поэтому, после нахождения корней уравнения x²+2·x−5−(x+1)=0 нам нужно будет обязательно выяснить, нет ли среди них посторонних корней для исходного уравнения и отсеять таковые при их наличии.

Дальнейшие преобразования уравнения x²+2·x−5−(x+1)=0 очевидны: раскрытие скобок, группировка и приведения подобных слагаемых. Все эти преобразования равносильные:
x²+2·x−5−x−1=0
x²+(2·x−x)−5−1=0
x²+x−6=0.

Теперь решаем квадратное уравнение x²+x−6=0, например, через дискриминант:

Остается выяснить, нет ли среди найденных корней x₁=−3 и x₂=2 посторонних корней для исходного уравнения.

Так как причиной возможного появления посторонних корней является только расширение ОДЗ при преобразовании уравнения, то проверку можно осуществить по ОДЗ, по условиям ОДЗ или путем непосредственной подстановки в уравнение. Покажем все три способа, чтобы сформировать общее представление о них.

Проверка по ОДЗ

Как мы выяснили выше, ОДЗ решаемого уравнения  есть множество [−1, +∞). Посмотрим, принадлежат ли ОДЗ найденные корни x₁=−3 и x₂=2. Корень x₁=−3, очевидно, не принадлежит ОДЗ, значит, он является посторонним корнем для уравнения . А корень x₂=2 принадлежит ОДЗ, поэтому, является корнем решаемого уравнения.

Проверка по условиям ОДЗ

ОДЗ для исходного уравнения определяется условием x+1≥0. Посмотрим, удовлетворяют ли этому условию найденные корни x₁=−3 и x₂=2. Подстановка в условие x+1≥0 корня x₁=−3 дает равенство −3+1≥0, что то же самое −2≥0. Это равенство неверное, значит, корень x₁=−3 не удовлетворяет условию ОДЗ, следовательно, этот корень является посторонним корнем для решаемого уравнения. Теперь подставляем в условие ОДЗ x+1≥0 второй корень x₂=2. Имеем 2+1≥0 и дальше 3≥0. Это равенство верное, значит, корень x₂=2 удовлетворяет условию ОДЗ, следовательно, является корнем решаемого уравнения.

Проверка через подстановку в исходное уравнение (или любое равносильное ему уравнение)

Подставим по очереди корни x₁=−3 и x₂=2 в исходное иррациональное уравнение  и посмотрим, что это дает. Подстановка корня x₁=−3 дает выражение  и дальше . Последнее выражение, очевидно, не имеет смысла, так как содержит отрицательное число под знаком квадратного корня. Это означает, что x₁=−3 является посторонним корнем для исходного уравнения. Подстановка корня x₂=2 в уравнение  дает выражение  и дальше  и 0=0. Таким образом, подстановка корня x₂=2 в уравнение  обращает его в верное числовое равенство 0=0. Значит, x₂=2 является корнем этого уравнения.

Итак, каждый из трех способов обнаружения и отсеивания посторонних корней показал, что x₁=−3 является посторонним корнем для решаемого уравнения, а x₂=2 является корнем уравнения. Таким образом, иррациональное уравнение  имеет единственный корень 2.

Ответ:

2.