Пример
Решить иррациональное уравнение
Решение
Чувствуется, что здесь нужно решать иррациональное уравнение при помощи преобразований уравнения, да другие методы решения и не просматриваются. Главное, не начать решение с перехода от исходного иррационального уравнения
к уравнению
с целью дальнейшего получения в левой части уравнения дроби с таким же знаменателем, как у дроби в правой части уравнения. В нашем случае такое преобразование проводить нельзя, так как оно сужает ОДЗ. Действительно, область допустимых значений для исходного уравнения есть (−∞, −3)∪(0, +∞), а для полученного – (0, +∞).
Так что давайте искать преобразования, не приводящие к сужению ОДЗ.
Есть смысл прибегнуть к умножению обеих частей иррационального уравнения
, чтобы дальше освободиться от дробей. Это преобразование не изменяет ОДЗ, причем на ОДЗ для исходного уравнения выражение
.
Теперь раскроем скобки в левой части уравнения:
. Это равносильное преобразование уравнения.
В правой части выполним умножение дроби на корень
. Это тоже равносильное преобразование уравнения.
Сокращение дроби в правой части уравнения не приводит к изменению ОДЗ, поэтому является равносильным преобразованием. Оно приводит к уравнению
.
Теперь на базе свойства корня из произведения перейдем к уравнению
. Этот переход расширяет ОДЗ до множества всех действительных чисел без двух чисел −3 и 0, так что в конце решения нам нужно будет не забыть выполнить проверку корней на наличие среди них посторонних.
Два следующих перехода понятны и равносильны:
и
.
Сокращение дробей под знаками корней приводит к уравнению
. Это преобразование еще расширяет ОДЗ до множества всех действительных чисел.
Иррациональные уравнения полученного вида мы решать умеем, они решаются через переход к модулям (при необходимости смотрите решение иррациональных уравнений через переход к модулям):
Осталось провести отсеивание посторонних корней. Посторонние корни при нашем ходе решения могли появиться только из-за расширения ОДЗ, поэтому отсеивание посторонних корней можно провести по ОДЗ. Оба найденных корня −6 и 3 принадлежат ОДЗ переменной x для исходного уравнения (−∞, −3)∪(0, +∞), поэтому, оба этих корня являются искомыми решениями.
Ответ:
−6, 3.