Пример
Решить уравнение
.
Решение
Перед нами иррациональное уравнение (см. определение иррационального уравнения). Здесь видны несколько подходов к решению. Проведем решение тремя способами: через переход к модулям, по определению корня и через возведение обеих частей уравнения в квадрат, и посмотрим, какой из способов дает наиболее простое и краткое решение. То есть, сравним три способа решения иррационального уравнения.
При первом взгляде на уравнение сразу напрашивается решение иррационального уравнения через переход к модулю. К этому нас подталкивает квадрат под квадратным корнем. Так, опираясь на свойство корней, выраженное равенством
, переходим к равносильному уравнению
. Остается решить уравнение с модулем:
Итак, уравнение
и
, следовательно, исходное уравнение в силу его равносильности решенному уравнению с модулем тоже имеет два корня
Теперь можно записать ответ и закончить на этом. Но прежде чем это сделать, мы обещали показать решение еще двумя способами.
Заданное иррациональное уравнение
Аналогично можно было прибегнуть к методу возведения обеих частей иррационального уравнения в квадрат:
Какие выводы нам позволяет сделать сравнение трех способов решения иррационального уравнения. В нашем случае предпочтительнее всех выглядит решение по определению корня: оно короче и проще как решения через переход к модулю, так и решения по методу возведения обеих частей уравнения в квадрат.
Ответ: