Пример
Решить иррациональное уравнение
Решение
Предположим, что нам захотелось попробовать решить это иррациональное уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Проведем необходимые преобразования уравнений:
В результате проведенных преобразований иррациональное уравнение свелось к верному числовому равенству 0=0. То есть, мы имеем дело с уравнением, сводящимся к числовому равенству. И вот здесь не стоит спешить с выводом, что искомым решением является любое число из ОДЗ для исходного уравнения (в нашем случае ОДЗ есть множество всех действительных чисел). Дело здесь в том, что мы дважды прибегали к возведению обеих частей уравнения в квадрат, а, как известно, возведение обеих частей уравнения в квадрат (и в другую четную степень) может быть неравносильным преобразованием и приводить к появлению посторонних корней в пределах ОДЗ. Так как же действовать дальше?
Здесь лучше всего выбрать другой способ решения. В нашем случае целесообразно выражения под корнями свернуть в квадраты двучленов, то есть, от иррационального уравнения
перейти к равносильному уравнению
, после чего перейти к равносильному уравнению с модулями
и решить его. Покажем отдельно решение этого примера через переход к модулям.
Можно построить решение иррационального уравнения через определение корня. Покажем его, хотя оно значительно сложнее решения через переход к модулям, так как приводит к необходимости решения неравенств, одно из которых иррациональное:
Таким образом, решением уравнения является числовой отрезок от двух до трех.
Ответ:
[2, 3].