Пример
Решите уравнение
Решение
В левой части иррационального уравнения находится дробь, в правой – нуль, значит, нам нужно решить иррациональное уравнение «дробь равна нулю». Известно, что уравнение вида «дробь равна нулю» на ОДЗ равносильно уравнению «числитель дроби равен нулю». В связи с этим существует два основных подхода к их решению:
- Первый – найти ОДЗ, приравнять числитель дроби к нулю, решить это уравнение, и взять корни, принадлежащие ОДЗ.
- Второй – приравнять к нулю числитель, решить это уравнение, и выполнить проверку найденных корней.
К первому подходу резонно прибегать тогда, когда ОДЗ находится легко, а уравнение «числитель равен нулю» — сложное. Если же ОДЗ найти сложно, то обычно лучше начинать с приравнивания числителя к нулю и решения этого уравнения, а проверку найденных корней в этом случае проводить путем подстановки в исходное уравнение или по условиям ОДЗ.
С чего лучше начать решение в нашем случае: с нахождения ОДЗ или с решения уравнения «числитель равен нулю»? Очевидно, с приравнивания к нулю числителя и решения этого уравнения, ведь в нашем случае это довольно простое иррациональное уравнение
. А найти ОДЗ для исходного уравнения в нашем случае сложно, ведь ее определяют условия
, предпоследнее из которых представляет собой иррациональное неравенство, а решение иррациональных неравенств обычно является непростым мероприятием.
Итак, начинаем с решения иррационального уравнения
Мы решили уравнение «числитель равен нулю», оно имеет два корня x1=2 и x2=3. Остается проверить, являются ли они корнями исходного уравнения вида «дробь равна нулю». Покажем два способа проверки: путем подстановки в знаменатель исходного уравнения и через условия ОДЗ.
Проверка путем подстановки в знаменатель исходного уравнения.
Проверка через условия ОДЗ (их мы записали выше
Таким образом, уравнение
, имеющее вид «дробь равна нулю», имеет единственный корень 3.
Ответ:
3.