Пример
Решите уравнение
.
Решение
Перед нами иррациональное уравнение. Его вид довольно сложный, и анализ его вида приводит к заключению, что нет возможности применять привычные методы решения иррациональных уравнений, нацеленные на избавление от знаков корней. Областью допустимых значений переменной x для данного уравнения, очевидно, является множество всех действительных чисел. Эти обстоятельства заставляют обратиться к функционально-графическим методом. Какое из направлений функционально-графического метода предпочесть? Сразу отметаем графический метод, так как график функции, отвечающей левой части уравнения, строить сложно. Также отказываемся от подбора корня и исследования функции, отвечающей левой части, на монотонность. Почему? Да хотя бы потому, что корень не очевиден. А вот попробовать оценить значение функции, отвечающей левой части уравнения, стоит, так как отчетливо просматривается возможность это сделать. Итак, остановимся на методе оценки для решения иррационального уравнения.
По методу оценки для решения уравнений вида f(x)=C (наше иррациональное уравнение имеет именно такой вид), во-первых, требуется получить оценку значений функции f (или выражения f(x)), и, во-вторых, на базе одного из утверждений, которое соответствует полученной оценке, либо сделать вывод об отсутствии корней уравнения, либо перейти к системе, равносильной исходному уравнения.
Оценим значение выражения
. Так как оно представляет собой сумму трех корней, то целесообразно оценить значения каждого из корней по отдельности и, используя их, получить интересующую нас оценку.
Оценим значения первого корня
. Так как квадрат любого действительного числа есть неотрицательное число, то x2≥0. Из этого неравенства и свойства верных числовых равенств, которое узаконивает прибавление к обеим частям неравенства одного и того же числа, следует, что x2+27≥27. А это неравенство и одно из свойств корней, которое утверждает, что корень из большего числа есть большее число, позволяет записать неравенство
, откуда имеем
.
Аналогично оцениваем второй и третий корни
и
:
Из полученных оценок
и
, а также из свойства сложения верных числовых неравенств одного смысла следует, что
, то есть,
.
Оценка получена. Мы имеем f(x)≥6 и, очевидно,
. Остается пробежаться по списку утверждений метода оценки, чтобы выбрать подходящее под полученные условия f(x)≥6 и
Естественно, подобное заключение можно дать и без поиска соответствующего утверждения, оно практически очевидно. Действительно, мы выяснили, что значения левой части уравнения больше или равны шести. Из этого, а также из неравенства
Ответ:
нет корней.