Решение иррациональных уравнений через определение корня

Пример

Решите уравнение

Решение

Перед нами иррациональное уравнение (при необходимости смотрите что такое иррациональные уравнения). Похоже, что придется прибегать к функционально-графическому методу решения, так как не видно возможности действовать иначе. Действительно, решение путем возведения обеих частей уравнения в степень, как и решение уравнения методом введения новой переменной, приведут к уравнению высокой степени. Также не просматривается решение через проведение преобразований уравнения. Хотя, может ОДЗ позволит сделать вывод о корнях уравнения? Проверим это предположение, найдем ОДЗ переменной x для исходного уравнения:

Видим, что ОДЗ – не пустое множество и содержит бесконечно много элементов. Значит, использовать метод решения уравнений по ОДЗ не получается.

Итак, все надежды на функционально-графический метод.

Рассмотрим функции f и g, отвечающие соответственно левой и правой части уравнения, то есть,  и . Понятно, что строить графики этих функций — не вариант, так как это довольно сложно. Значит, будем пробовать решать уравнение через возрастание-убывание.

Для начала отметим, что на ОДЗ переменной x для исходного уравнения, то есть, на отрезке [−1, 4], функции  и  непрерывны. Дальше исследуем эти функции на возрастание-убывание. В нашем случае для этого не обязательно привлекать производную, можно использовать свойства основных элементарных функций и свойства возрастающих и убывающих функций. Проведем соответствующие рассуждения:

Линейная функция y=4−x – убывающая, так как коэффициент при x – отрицательный. Корень из убывающей функции есть функция убывающая, значит,  — убывающая функция. Функция  — убывающая, значит, и функция  — убывающая, значит, и функция  — убывающая. Следовательно, функция  на отрезке [−1, 4] — убывающая, как сумма двух убывающих функций и постоянной функции.

Функция y=x³ – возрастающая, значит, функция y=x³+1 тоже взрастающая. А так как корень из возрастающей функции есть функция возрастающая, то  — возрастающая функция.

Итак, на ОДЗ переменной x для решаемого иррационального уравнения функции, отвечающие левой и правой части уравнения, непрерывны, причем одна из них — убывает, а другая — возрастает. Следовательно, уравнение либо не имеет корней, либо имеет единственный корень. Попробуем найти корень.

Посмотрим повнимательнее на уравнение  и на ОДЗ [−1, 4], не очевиден ли корень уравнения? Для какого значения переменной x из ОДЗ мы можем извлечь оба корня  и ? Для x=0. Это значение и проверим подстановкой в исходное уравнение, может быть это и есть нужный нам корень:

Так как при подстановке мы получили верное числовое равенство, то x=0 действительно корень уравнения. А выше мы обосновали, что решаемое уравнение может либо не иметь корней вообще, либо иметь единственный корень, следовательно, x=0 – это единственный корень иррационального уравнения .

Ответ:

0.