Пример
Решить иррациональное уравнение
Решение
Просматривается возможность решить уравнение методом разложения на множители, ведь разность квадратов в левой части уравнения можно представить в виде произведения по соответствующей формуле сокращенного умножения. Имеем
и дальше
. Проделанные преобразования являются равносильными преобразованиями уравнения, поэтому полученное уравнение равносильно исходному.
Проведенная подготовка иррационального уравнения позволяет дальше действовать по стандартному алгоритму метода разложения на множители:
- Переходим к совокупности уравнений,
- Решаем составленную совокупность,
- Нет решений у совокупности – нет решений и у уравнения, есть решения у совокупности — отсеиваем посторонние корни.
От уравнения
.
Теперь нам нужно решить совокупность уравнений. Для этого по очереди решим составляющие ее уравнения и объединим их решения. Оба уравнения совокупности являются иррациональными уравнениями. Решать их можно, например, методом возведения обеих частей уравнения в квадрат с предварительным уединением радикала. Решаем первое уравнение:
При таких корнях проверку удобнее провести не через подстановку в уравнение
, а по условию x−1≥0 (что по сути равносильно решению иррационального уравнения по определению корня). Для удобства последнее условие перепишем как x≥1. Имеем
Первое уравнение совокупности решено, оно имеет единственный корень
.
Решаем второе уравнение совокупности:
Здесь тоже проверку удобнее проводить не через подстановку в уравнение
, а по условию −x−1≥0, что то же самое x≤−1:
Таким образом, второе уравнение совокупности тоже имеет единственный корень
.
Следовательно, совокупность
и
.
Остается выполнить последний шаг алгоритма метода разложения на множители – отсеять посторонние корни. В нашем случае несложно найти ОДЗ для исходного уравнения, поэтому проверку можно провести по ОДЗ. ОДЗ определяется условием x+2≥0, что то же самое x≥−2. И
Ответ: