Пример
Решить уравнение
Решение
Левая часть заданного уравнения представляет собой произведение, правая часть – ноль. Это нам подсказывает, что нужно обратиться к методу разложения на множители для решения уравнений. По данному методу нужно
- перейти к совокупности уравнений,
- решить составленную совокупность,
- если совокупность корней не имеет, то сделать вывод об отсутствии корней исходного уравнения, если же корни имеются, то отсеять посторонние.
Переходим к совокупности трех уравнений x−5=0, x+1=0,
.
Теперь нам надо найти решение совокупности уравнений. Для этого найдем решения каждого ее уравнения и объединим результаты. Первые два уравнения совокупности и — это линейные уравнения. Их решениями являются соответственно x=5 и x=−1. Остается решить иррациональное уравнение
, в котором можно уединить радикал
, после чего воспользоваться методом возведения обеих частей уравнения в квадрат:
Объединение корней всех трех уравнений совокупности дает решение совокупности: 5, −1 и −3. Обозначим корни как x1=5, x2=−1 и x3=−3.
Последний шаг алгоритма метода разложения на множители предписывает выполнить отсеивание посторонних корней. Для этого запишем условия, определяющие ОДЗ переменной x для исходного уравнения:
. Очевидно, решать составленную систему не очень просто из-за ее первого иррационального неравенства. Поэтому, чтобы избавить себя от лишней работы ограничимся проверкой по записанным условиям. Подставим по очереди значения x1=5, x2=−1, x3=−3 в систему и посмотрим, какие из значений удовлетворяют обоим ее неравенствам. Они и будут искомыми корнями.
Таким образом, 5 и −3 – корни иррационального уравнения
, а −1 – посторонний корень.
Итак, уравнение имеет два корня 5 и −3.
Ответ:
−3, 5.