Решение иррациональных уравнений через определение корня

Пример

Решить уравнение .

Решение

Анализируя внешний вид уравнения, можно прийти к выводу, что из стандартных способов решения иррациональных уравнений стоит попробовать разве что функционально-графический метод решения уравнений. Он действительно позволяет решить это уравнение (решение этим методом можно посмотреть здесь). В данной статье мы рассмотрим неожиданный способ решения этого уравнения, который предложен в учебнике алгебры за 11 класс Мордковича А. Г. [1], который состоит во введении двух переменных .

Введенные таким способом переменные приводят к уравнению u+v=2. Понятно, что для нахождения значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно, нам нужно еще одно уравнение с этими переменными. Такое уравнение можно получить из системы , разрешив каждое уравнение относительно x и приравняв правые части:

Так мы к уравнению u+v=2 получили еще одно уравнение u⁴+v⁴=16. Теперь мы имеем возможность найти u и v, решив систему уравнений .

Решать ее можно так: в первом уравнении выразить одну переменную через другую, осуществить подстановку во второе уравнение, решить полученное уравнение, после чего по первому уравнению найти значение оставшейся переменной.

Однако  — это симметрическая система, и автор предлагает решать ее соответствующим образом (решение симметрических систем разобрано в уже упоминавшемся учебнике [1]). Для этого вводим две новые переменные . В новых переменных первое уравнение системы  будет иметь вид p=2, а чтобы ввести новые переменные во втором уравнении, нужно выразить u⁴+v⁴ через u+v и u·v. Для этого запишем четвертую степень суммы двух переменных u и v. По формуле бинома Ньютона имеем:
(u+v)⁴=u⁴+4·u³·v+6·u²·v²+4·u·v³+v⁴=
=u⁴+v⁴+4·u·v·(u²+v²)+6·u²·v²=
=u⁴+v⁴+4·u·v·((u+v)²−2·u·v)+6·u²·v²=
=u⁴+v⁴+4·u·v·(u+v)²−8·u²·v²+6·u²·v²=
=u⁴+v⁴+4·u·v·(u+v)²−2·u²·v²=
=u⁴+v⁴+4·u·v·(u+v)²−2·(u·v)²

Отсюда u⁴+v⁴=(u+v)⁴−4·u·v·(u+v)²+2·(u·v)², что позволяет перейти к новым переменным p и q, имеем u⁴+v⁴=p⁴−4·q·p²+2·q².

Таким образом, от системы  путем введения новых переменных  мы переходим к системе . Решаем ее.

Подставив во второе уравнение p=2, придем к рациональному уравнению 16−16·q+2·q²=16, которое равносильно неполному квадратному уравнению q²−8·q=0. Оно представляется в виде q·(q−8)=0, откуда видны два его корня q₁=0 и q₂=8. Следовательно, система уравнений  имеет два решения  и .

Найденные решения позволяют возвратиться к переменным u и v. Так как мы принимали  и нашли  и , то  или . Решаем эти системы:

Наконец, можно вернуться к переменной x. Мы принимали  и нашли  или , откуда  или . Решаем эти системы иррациональных уравнений:

Остается сделать проверку подстановкой:

Ответ:

−15, 1.