Решение иррациональных уравнений через определение корня

Пример

Решить иррациональное уравнение .

Решение

Для заданного иррационального уравнения (при необходимости повторите что такое иррациональное уравнение) очевидна возможность введения новой переменной: . Поэтому будем решать иррациональное уравнение методом введения новой переменной. Вкратце напомним алгоритм метода:

Вводим новую переменную g(x)=t.

Решаем полученное уравнение с новой переменной. При этом

если уравнение не имеет корней, то делаем вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,

если уравнение имеет корни, то выполняем следующие шаги алгоритма.

Осуществляем возврат к старой переменной. Для этого составляем уравнение или совокупность уравнений и/или неравенств (в зависимости от количества найденных на предыдущем шаге корней).

Решаем составленное уравнение или совокупность, что дает искомое решение.

На первом шаге соответствующего алгоритма нам нужно ввести новую переменную. С ней мы уже определились, . Заменяем в исходном уравнении  на t, при этом приходим к уравнению с новой переменной: .

Теперь нам нужно решить полученное уравнение. Это рациональное уравнение, их мы решать умеем:

Мы решили уравнение с новой переменной t, оно имеет два корня t₁=−2 и t₂=1. Переходим к третьему шагу алгоритма.

Возвращаемся к старой переменной x. Новую переменную мы вводили как , при этом нашли два значения новой переменной t₁=−2 и t₂=1. Поэтому, приравниваем корень из двух минус икс к −2 и к 1, объединяя эти уравнения знаком совокупности: .

Остается выполнить последний шаг решения иррационального уравнения методом введения новой переменной — решить совокупность уравнений . Для этого по отдельности решим каждое уравнение и объединим их решения. Очевидно, что  и  — простейшие иррациональные уравнения, и их удобно решать по определению корня):

Итак, . То есть, решаемое иррациональное уравнение имеет один корень x=1.

Для полной уверенности можно выполнить проверку подстановкой:

Покажем альтернативный способ решения – через преобразование уравнений.

Известно, что умножение обеих частей уравнения на не обращающееся в нуль выражение есть равносильное преобразование уравнения. Поэтому, умножив обе части иррационального уравнения  на не обращающееся в нуль выражение  (для любого x из ОДЗ переменной для исходного уравнения выражение  принимает положительное значение, так как корень – число неотрицательное да еще плюс три), получим равносильное уравнение. Имеем . Упростим его вид, осуществив еще ряд равносильных преобразований на ОДЗ:

Так проделанные преобразования позволили нам перейти от исходного иррационального уравнения к простейшему иррациональному уравнению. Решим его методом возведения обеих частей в квадрат:

Итак, полученное после преобразований уравнение имеет единственный корень 1, а так как это уравнение равносильно исходному, то и исходное иррациональное уравнение имеет единственный корень 1.

Подведем итог. Мы подробно разобрали решение иррационального уравнения двумя способами – методом введения новой переменной и через преобразование уравнения. В данном случае, да и во многих других, метод введения новой переменной выглядит предпочтительнее, так как проводимые по нему действия проще. Действительно, при проведении преобразований иррациональных уравнений очень непросто оставаться в рамках равносильности. В любом случае, действуйте так, как Вам удобнее.

Ответ:

1.