Пример
Решить иррациональное уравнение
Решение
Подобные иррациональные уравнения (см. что такое иррациональные уравнения) с тремя квадратными корнями с переменной под каждым из них можно решать методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Напомним, какие действия составляют указанный метод решения:
- Во-первых, от исходного уравнения переходят к более простому уравнению. Это достигается циклическим выполнением трех следующих действий:
- уединение радикала;
- возведение обеих частей уравнения в степень;
- упрощение вида уравнения.
- Дальше решается полученное уравнение.
- Наконец, если ранее проводилось возведение в четную степень, то выполняется проверка для отсеивания посторонних корней.
Проделаем описанные манипуляции.
В нашем примере участвуют три радикала. Избавиться от них в подобных случаях позволяет двукратное выполнение тройки действий – уединение радикала, возведение обеих частей в степень, упрощение вида уравнения.
Выполним первый проход.
Уединение радикала не требуется, так как в правой части уравнения мы уже имеем уединенный радикал.
Мы имеем дело с квадратными корнями, поэтому возведем обе части уравнения в квадрат:
.
Упростим вид полученного уравнения, последовательно осуществляя ряд преобразований уравнения. Формула сокращенного умножения «квадрат суммы» и определение корня позволяют нам провести несколько замен выражений тождественно равными им выражениями:
Дальше видна возможность подготовиться ко второму проходу цикла из трех действий, а именно, уединить произведение радикалов:
Очевидно, после первого прохода мы избавились от трех изначально присутствующих радикалов, но обрели произведение радикалов. Поэтому, для избавления от него выполним тройку указанных выше действий еще раз.
Вновь в уединении радикала нет надобности, так как мы прозорливо уже уединили произведение радикалов на предыдущем шаге.
Переходим к возведению обеих частей уравнения в квадрат:
.
И упрощаем вид полученного уравнения. Одно из свойств степеней, а именно, свойство степени произведения, позволяет заменить квадрат произведения в левой части уравнения произведением квадратов, имеем
. На базе определения корня и формулы «квадрат разности» переходим к следующему уравнению
. Дальнейшее упрощение вида уравнения не нуждается в комментариях:
Так после второго прохода цикла мы полностью освободились от радикалов и получили квадратное уравнение. Квадратные уравнения мы решать умеем, поэтому первый этап можно считать завершенным, и можно переходить ко второму этапу – к решению полученного уравнения.
Решим полученное квадратное уравнение x2−3·x−10=0 через дискриминант:
Остался третий этап решения по методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень – отсеивание посторонних корней. В нашем случае этот этап пропустить нельзя, так как выше мы осуществляли возведение в четную степень, причем дважды, а это могло привести к возникновению посторонних корней. Более того, при некоторых преобразованиях уравнений расширялась область допустимых значений переменной x, что также могло породить посторонние корни. Так что отсеем посторонние корни. Сделаем это через подстановку найденных корней x1=−2 и x2=5 в исходное иррациональное уравнение:
Ответ:
−2
