Пример
Решить иррациональное уравнение
Решение
Для решения этого уравнения воспользуемся методом решения уравнений по определению корня. Согласно этому методу решения, иррациональное уравнение
заменяется системой
, которая имеет то же множество решений.
Итак, переходим к системе
. Решать систему будем так: решим уравнение (1−2·x)2=5·x2+4·x−8, и если оно имеет корни, то подставим их в неравенство 1−2·x≥0 и проверим, какие из них удовлетворяют этому неравенству, они и будут искомыми решениями.
Подставляем первый корень −9 в неравенство 1−2·x≥0, имеем 1−2·(−9)≥0, что то же самое 19≥0. Это верное числовое неравенство, значит, −9 является решением системы, следовательно, является решением исходного уравнения. Подставляем второй корень 1 в неравенство 1−2·x≥0, имеем 1−2·1≥0 и дальше −1≥0. Это неравенство неверное, значит, 1 не является решением системы, следовательно, не является решением исходного уравнения.
Итак, иррациональное уравнение
имеет единственный корень −9.
Ответ:
−9.