Решение иррациональных уравнений через определение корня -2

Пример

Решите иррациональное уравнение 

Решение

Мы имеем дело с иррациональным уравнением (см. какие уравнения называют иррациональнымм уравнениями) вида , где показатель корня равен шести, f(x)=4−5·x и C=0. Для решения таких иррациональных уравнений удобен метод решения уравнений по определению корня: при C≥0 переходить к равносильному уравнению C^2·k=f(x). Так и поступим.

Определение арифметического корня четной степени позволяет нам перейти от уравнения  к равносильному уравнению 0⁶=4−5·x. Равносильные преобразования приводят полученное уравнение к линейному уравнению 5·x=4, которое имеет единственный корень x=4/5. Так как последнее уравнение равносильно исходному, то найденный корень является единственным корнем исходного иррационального уравнения.

Заметим, что это иррациональное уравнение можно было решать по определению корня как уравнение вида , где 2·k=6, f(x)=4−5·x, g(x)=0. При таком подходе определение корня четной степени позволяет заменить решение иррационального уравнения  решением системы . Имеем . Остается решить систему:

Так мы нашли единственный корень иррационального уравнения , им является число 4/5.

Ответ:

4/5.